大学静学实扮 寥例1海上私(蟆)模型的解斬解 寥例1海上私()模型的解析解 √e-x)+(a-y3d√e-x)+(a-y p(0)=0 -x)*+y=ar 4(c-x =a业 y(0)=0 舞的航能y(x)的靠折 (c-x =c时 1-k2=b2-a和地上竞船的质 ds=√dx)2+(dy)2 缉私艇追上走私船的时间:1 P a=20b=40,=15→1=05=35,b=40,c=15→1=16 分方翟歙官解油的误分析 误差分析估计欧拉公式的局部截断误差 数值解法:计算微分方程精确解y(xn)的近似值y xm)在xn处作 Taylor展开 按照步长h一步步计算每步都有误差; Mxm)=y(r,)+hy(r, )+y(.)+O(h 一步的误差会逐步积累,称累积误差 向前欧拉公式Vn+=yn+b(xn,yn) 讨论计算一步出现的误差 y=(x)+(x1,(x)=yx)+hy(x) 假定yx),估计m的误差:mm =y(x,)-y=2yx,)+0O(b)=O0) 局部截断误差 局部截断误差主项为”,y(xn) 学学实 (大学数学实验) 误差分析估计欧拉公式的局部断误差 「误算法精度的阶的定义 y(xn)=y(x)+ly(x)+y°(xn)+O(h) 差 个算法的局部截断误差为O(h) 向后欧拉公式yn+=y+hf(xn+t,yn) 析 该算法具有阶精度 局部徽新赣政 r=y(x)-y=-2(x)+O(b)=o(h 向前欧拉公式 O(2) 局部截断误差主项为-5y(x) 向后欧拉公式 O(h2) 梯形向前、向后欧拉公式的平均 梯形公式 y(xn)+O(b)=O(2) 改进欧拉公式O(l) 2阶 经典龙格一库塔公式O(h) 4阶4 实例1 海上缉私(续) 模型的解析解 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) c x at y b at y dt dy c x at y b c x dt dx − + − − = − + − − = ( c x ) at y dx dy − − = y at dx dy (c − x) + = 2 2 ( ) d y dt cx a dx dx − = ds b dt = 2 2 ds dx dy = + () () 2 2 2 ( ) 1( ) d y a dy c x dx b dx − =+ dx dy 令 p = b a k p k dx dp (c − x) = 1+ , = 2 p(0) 0 = 实例1 海上缉私(续) 模型的解析解 2 ( ) k 1 p dx dp c − x = + p(0) 0 = 2 1 () c x k p p c − − + += 2 1 () c x k p p c − + −= 1 [( ) ( ) ] 2 cx cx k k p c c − − − = − k ab = / 1 < y(0) 0 = 1 1 2 1 1 [ ( ) ( )] 21 1 1 c c x c x kc k k y kc kc k − − + − = −+ + − − 缉私艇的航线y(x)的解析解 x=c时 缉私艇追上走私船的y坐标 缉私艇追上走私船的时间: 1 2 2 b c t b a = − a=20, b=40, c=15 → t1=0.5 a=35, b=40, c=15 → t1=1.6 2 22 1 kc abc y k ba = = − − 微分方程数值解法的误差分析 数值解法: 计算微分方程精确解y(xn)的近似值yn 按照步长h一步步计算, 每步都有误差; 每一步的误差会逐步积累, 称累积误差. 讨论计算一步出现的误差 假定yn= y(xn) , 估计yn+1的误差: y(xn+1)- yn+1 局部截断误差 误差分析 估计欧拉公式的局部截断误差 y(xn+1)在xn处作Taylor展开: ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 y x O h h y x y x hy x n+ = n + ′ n + ′′ n + 向前欧拉公式 1 (, ) n n nn y y hf x y + = + yn= y(xn) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) n 1 n n n n n y = y x + hf x y x = y x + hy′ x + 2 3 2 1 11 ( ) () () () 2 n nn n h T yx y y x Oh Oh + ++ = −= + = ′′ 局部截断误差主项为 ( ) 2 2 n y x h ′′ 误差分析 估计欧拉公式的局部截断误差 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 y x O h h y x y x hy x n+ = n + ′ n + ′′ n + 向后欧拉公式 ( , ) n+1 = n + n+1 n+1 y y hf x y 2 3 2 1 11 ( ) () () () 2 n nn n h T yx y y x Oh Oh + ++ = − =− + = ′′ 局部截断误差主项为 ( ) 2 2 n y x h − ′′ 梯形 公式 向前、向后欧拉公式的平均 3 4 3 1 () () () 12 n n h T y x Oh Oh + =− + = ′′′ xn xn+1 x y Pn A Q B 误 差 分 析 算法精度的阶的定义 一个算法的局部截断误差为O(hp+1) 该算法具有p阶精度 局部截断误差 精度 向前欧拉公式 O(h2) 1阶 向后欧拉公式 O(h2) 1阶 梯形公式 O(h3) 2阶 改进欧拉公式 O(h3) 2阶 经典龙格-库塔公式 O(h5) 4阶