第四章重积分 aL 4-x -2xA=0 2y=0 4+x2-y2-2xy-18x=0 →14-x2+y2-2xy+18y2=0 0 得(x,y)=(2-2)(x,1) f(r,y) f(x,,y) 3 所以函数f(xy)在D上的最大,最小值分别是y2和2 再注意到D的面积为丌,由估值定理得 丌≤ 例3设∫:DcR2→R可积,区域D对称于y轴, ()若f(-xy)=-/(xy).则积分/(x,y=0 (2)若f(x,y)=f(x,y)则积分/(x,y=2/(x,yo 其中.D=D∪D2,D1,D2关于y轴对称 例4估计二重积分∫e,)d之值 ++ys1 lim ∈ kx se-dx≤ dx 第一章重积分概念与性质第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          = − + − =   − = − − − − − + − =   − = − − − − + − =   [ 1] 0 2 0 4 4 2 2 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y L y x y x y y x y y L x x y x y x x y x L         − − = − + − + = + − − − =  1 0 4 2 18 0 4 2 18 0 2 2 2 2 2 2 x y x y xy y x y xy x   得 ) 2 2 , 2 2 ), ( , ) ( 2 2 , 2 2 ( , ) ( 1 1 2 2 x y = − x y = − ，且 3 2 , ( , ) 3 2 ( , ) 1 1 2 2 f x y = f x y = − 所以函数 f (x, y) 在 D 上的最大，最小值分别是 3 2 和 3 2 − ， 再注意到 D 的面积为  ，由估值定理得    3 2 3 4 2 2 2   − − − −  D d x y x y . 例3 设 f D  R → R 2 : 可积，区域 D 对称于 y 轴, (1) 若 f (− x, y) = − f (x, y),则积分 ( , ) = 0  D f x y d ; (2) 若 f (− x, y) = f (x, y),则积分 ( ) ( )   = * , 2 , D D f x y d f x y d , 其中. D = D1  D2 , 1 2 D ,D 关于 y 轴对称。 例4 估计二重积分 ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d 之值. ( )  +  − + 1 2 2 x y x y e d = = − + → =   m i j n j i x y T e x y i j 1 ( ) ( ) 0 2 2 lim                 =   = − → = − → j n j y m i i x e x e y j j i x 1 0 0 2 2 lim lim   ; = 2 1 0 1 1 1 1 2 2 2 4         =                     − − − − − e dx e dy e dx x y x x0,1 , 2 1 1 4 2 2 2 x x e x x −   − + −  ( ) dx x x dx e dx x x            −   − + − 1 0 4 2 1 0 1 0 2 2 1 1 2