运城学院应用数学系2020年6月抽象代数试题及答案(A) 解答题（每小题10分，共100分) 1、将置换o= 123456 分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 (34521 6 解a-(子2i805s0a4,为6-0分 2、在整数集Z上定义两个运算：a①b=a+b-1,aob=a+b-ab,则Z关于这 两个运算是环，计算(2.3)⊕4。 解：(23)⑥4=(2+3-2×3)⊕4=-1⊕4=-1+4-1=2。.10分 3、设群G=(a),且a-10,写出G的所有子群。 解：G的子群共4个，{e}、(a={e,a}、(a2)={e,a2,a,a,a}、G。l0分 4、求Z5中所有可逆元的逆。 解：1、4的逆为自身，2、3互逆。10分 5、设群G=(a),且ad=5,写出AutG。 解：uG=,%,%,0,其中E=e aaa a e aaaa aaa 。..10 分 6、设G是一个群，若对任意的a,b∈G,皆有(ab)2=ab2,证明G是交换群。 证明：对任意的a,b∈G,由(ab)2=ab2得abab=aabb,两边同时左乘a,右乘 b得a ababb"=a aabbb,即ba=ab,所以G是交换群。.l0分 7、设o是从群G到群G的满同态映射，e是G的单位元，记e的像为e,即e=p(e), 证明e是G的单位元。 证明：对任意的aeG,由于p是满射，所以存在a∈G,使得a=p(a),所以有 ae=p(a)p(e)=p(ae)=p(a=a,即是G的单位元。.l0分 8、设G是群，u是G中取定的一个元素，与u可交换的元素组成集合G(),证 明G()是G的子群。运城学院应用数学系 2020 年 6 月抽象代数试题及答案（A） 解答题（每小题 10 分，共 100 分） 1、将置换 1 2 3 4 5 6 3 4 5 2 1 6         分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 解： 1 2 3 4 5 6 3 4 5 2 1 6         =(135)(24)，阶为 6。......10 分 2、在整数集 Z 上定义两个运算： a b a b    1，a b a b ab    ，则 Z 关于这 两个运算是环，计算 (2 3) 4  。 解： (2 3) 4 (2 3 2 3) 4 1 4 1 4 1 2               。......10 分 3、设群 G a    ，且 a 10 ，写出 G 的所有子群。 解：G 的子群共 4 个， {}e 、 5 5    a e a { , }、 2 2 4 6 8    a e a a a a { , , , , }、G。......10 分 4、求 Z5 中所有可逆元的逆。 解： 1 4 2 3 、的逆为自身，、互逆。 ......10 分 5、设群 G a    ，且 a  5 ，写出 AutG。 解： 1 2 3 AutG { , , , }     ，其中 2 3 4 2 3 4 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 1 2 4 3 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 2 3 4 2 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 1 4 3 2 e a a a a e a a a a         。......10 分 6、设 G 是一个群，若对任意的 a, b ∈ G，皆有(ab) 2 = a 2 b 2，证明 G 是交换群。 证明：对任意的 a, b∈G，由(ab)2 = a 2 b 2 得 abab = aabb，两边同时左乘 a -1，右乘 b -1 得 a -1 ababb-1 = a -1 aabbb-1，即 ba = ab，所以 G 是交换群。......10 分 7、设φ 是从群G到群 G 的满同态映射，e是G的单位元，记e的像为 e ，即 e e ( ) ， 证明 e 是 G 的单位元。 证明：对任意的 a G ，由于 φ 是满射，所以存在 a G ，使得 a a ( ) ，所以有 a e a e ae a a         ( ) ( ) ( ) ( ) ，即 e 是 G 的单位元。……10 分 8、设 G 是群，u 是 G 中取定的一个元素，与 u 可交换的元素组成集合 G(u)，证 明 G(u)是 G 的子群