此时,VE≥0,彐6()=,当x-x<(E)时,|f(x)-f(xo)<E,对 xo∈[c,都成立 对于上述两种情况我们称f(x)=在(0)区间上不一致连续,而在[c区间上 致连续。 定义1设函数∫(x)在区间Ⅰ上连续,如果ⅤE>0,存在只依赖于E的o(E)>0,使 当x∈/且|x-x0<(a)时,Vx0∈l均有f(x)-f(x0)<E,则称f(x)在/上 致连续 定义1的等价命题是 vE>0,36()>0,wx',x"∈I,x'-x"<E),f(x)-f(x”)<E” 定理1有界闭区间[a,b]上的连续函数一致连续 证明设f(x)在[a上连续,记 f∫(a),x∈(a-1,a) 0)={f(x),x∈[ab] ∫(b).x∈(b,b+1) 则F(x)在(a-1,b+1)内连续,VE>0,由柯西准则x∈(a-1,b+1),彐δ>0, 使x',x"∈(a-1.b+1)∩(x-6,x+6),恒有F(x)-F(x")<E,取遍 a-1b+1)上所有的点x,得到的开区间集 △={(a-1b+1)(x )|x∈(a-1,b+1) 覆盖了有界闭区间[ab],根据有限覆盖定理,存在有限个开区间 d=min …°2(则对上述E>0,存在上述>0,使x:xE 要'-x1<6,x',x"就必属于某个开区间(a-1b+mx-6,x+0),从而 有(x)-f(x”)=F(x)-F(x")<E,这就证明了f(x)在[小]上一致连续。 以上有关一致连续的定义和定理可以推广到多元函数上去,下面以二元函数为例 定义2设f(x,y)在域DcR2上连续,如果VE>0,3()>0,使当132 此时,     =  0 2 2 , ( ) c , 当 x − x0   () 时, f (x) − f (x0 )   , 对 x0 c,1 都成立。 对于上述两种情况, 我们称 f x x ( ) = 1 在(0,1)区间上不一致连续, 而在 c,1 区间上 一致连续。 定义 1 设函数 f (x) 在区间 I 上连续, 如果   0 , 存在只依赖于  的  ()  0 , 使 当 x I 且 x − x0   () 时, x  I 0 均有 f (x) − f (x0 )   , 则称 f (x) 在 I 上一 致连续。 定义 1 的等价命题是: “   0, ()  0, x , x I, x − x  (), f (x) − f (x)   ” 定理 1 有界闭区间 [a,b] 上的连续函数一致连续 证明 设 f (x) 在 a,b 上连续, 记 F x   f a x a a f x x a b f b x b b ( ) ( ), ( , ), ( ), , , ( ), ( , ) =  −   +      1 1 则 F(x) 在 (a − 1,b + 1) 内连续,   0, 由柯西准则 x (a −1,b + 1) ,  x  0 , 使 x x  a − b + x − x x + x , ( 1, 1)(  ,  ) , 恒有 F(x) − F(x)   , 取遍 (a − 1,b + 1) 上所有的点 x , 得到的开区间集        = ( − , + ) ( − , + ) | ( −1, +1) 2 2 a 1 b 1 x x x a b   x  x 覆盖了有界闭区间 a,b, 根据有限覆盖定理, 存在有限个开区间         − + − + 2 2 1 1 i i x i x i a b x x   ( , )  , , i = 1,  ,n, 覆盖了闭区间 a,b, 记    =       min , x x 1 n 2  2 , 则对上述   0 , 存在上述   0, 使 x , x a,b, 只 要 x − x   , x  , x 就必属于某个开区间 (a ,b ) (xi x , xi x ) i i − 1 + 1  −  +  , 从而 有 f (x) − f (x) = F(x) − F(x)   , 这就证明了 f (x) 在 a,b 上一致连续。 以上有关一致连续的定义和定理可以推广到多元函数上去, 下面以二元函数为例 定义 2 设 f (x, y) 在域 D  R 2 上连续, 如果   0 ,  ()  0 , 使当