理得满射个数为 m2-C(m,1)·(m-1)n+C(m,2)·(m-2)m-…+(-1)-C(m,m-1)·1n 2.求1000的末尾的零的个数 解答:此问题等价于求把1000分解成素数时,2和5的幂是多少?1000的尾数零的个数等于2和5的 幂中较小的一个。显然,5的幂的个数远小于2的幂的个数。 在1至1000共1000个数中,5的倍数的数有200个,52=25的倍数的有40个,其中53=125的倍数 的有8个,54=625的倍数的有1个 所以100质因数分解时,5的幂应为200+40+8+1=249。故100末尾有249个零。「 3.John去参加一展览会,展览会的门票为50元。在售票处,John发现了一个奇怪的现象:在排 队购票的2n个人中,总有n个人拿的是面值为100元的钞票,而另外的n个人拿的是面值为50元的钞 票。假设售票处原来没有零钱。那么共有多少种排队方式,使得售票处不至出现找不开钱的局面。 解答:构造组合模型如下:我们用1表示有一个手拿$50的人,用0表示手拿$100的人,那么我们 所求解的问题可以转化为:n个1和n个0组成一个2n位的二进制数,要求从左到右扫描,1的累计数 不小于0的累计数,求满足这个条件的二进制的数的个数 在2n位上填入n个1的方案数为C(2n,n)不填1的其余n位自动填入0。从C(2n,n)中减去不符合 要求的方案数就是问题的解。不符合要求的是指从左到右扫描,出现0的累计数超过出现1的累计 不符合要求的数的特征是从左到右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0和m个1 而后的2(-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如果把后面这部分2(n-m)-1位的0与1互 换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得到一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数。即一个 不符合要求的数对应一个由n+1个0和n-1个1组成的一个排列。 反之,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多于2个,2n是偶数,所以 定在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0和1互换,使之成为 一个由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,一定对应一个不符合要求 的数。所以不符合要求的数的总数为C(2n,n+1) 所以我们所求的结果便可表示为C(2n,n)-C2n,n+1)=mC(n,n) 证明题(共5题,每题10分,总共50分) 动员是25天内的冠军,该选手每天至少比赛一场,但是总共比赛次数不超过41场。证 明:存在着连续的若干天使得该选手恰好进行了8场比赛n÷‡ê mn − C(m, 1) · (m − 1)n + C(m, 2) · (m − 2)m − · · · + (−1)n−1C(m, m − 1) · 1 n ✐ 2©¦1000!""‡ê" )‰µd¯Kdu¦r1000!©)¤ƒêž§2Ú5´õº1000!ê"‡êu2Ú5 ¥‡"w,§5‡êu2‡ê" 311000
1000‡ê¥§5êêk200‡§5 2 = 25êk40‡§Ù¥5 3 = 125ê k8‡§5 4 = 625êk1‡" ¤±1000!ŸÏê©)ž§5A200 + 40 + 8 + 1 = 249"1000!"k249‡"" ✐ 3©Johnë\ÐA¬§ÐA¬€¦50"3Ȧ?§Johnuy ‡Û%yµ3ü è ¦2n‡<¥§okn‡<<´¡Š100‰¦§ , n‡<<´¡Š50‰ ¦"bȦ?5vk"a"@o
kõ«ü萪§¦Ȧ?ØÑyéØmaÛ¡" )‰µE|Ü.Xeµ·‚^1L«k‡Ã<$50<§^0L«Ã<$100<§@o·‚ ¤¦)¯KŒ±=zµn‡1 Ún‡0|¤‡2n ?›ê§‡¦l†m×£§1\Oê Øu0\Oꧦ÷vù‡^‡?›ê‡ê" 32n þW\n‡1YêC(2n, n) ØW1Ù{n gÄW\0"lC(2n, n)¥~ØÎÜ ‡¦YêÒ´¯K)"ØÎ܇¦´l†m×£§Ñy0\Oê‡LÑy1\O ê" ØÎ܇¦êA´l†m×£ž§7,3,Ûê 2m+1 þÄkÑym+1‡0Úm‡1¶ ￾2(n − m) − 1 þkn − m ‡1§n − m − 1‡0"XJr￾¡ùÜ©2(n − m) − 1 0†1p †§¦ƒ¤n − m‡0§n − m − 1‡1§(J‡dn + 1‡0Ún − 1‡1|¤2n ê"=‡ ØÎ܇¦êéA‡dn + 1‡0Ún − 1‡1|¤‡ü" ‡ƒ§?ۇdn + 1‡0Ún − 1‡1|¤2n ê§du0‡êõu2‡§2n´óꧤ± ½3,‡Ûê þÑy0\Oê‡L1\Oê"Ó3￾¡Ü©§-0Ú1p†§¦ƒ¤ ‡dn‡0Ún‡1|¤2n ê"=n + 1‡0Ún − 1‡1|¤2n ê§½éA‡ØÎ܇¦ ê"¤±ØÎ܇¦êoêC(2n, n + 1) ¤±·‚¤¦(JBŒL«C(2n, n) − C(2n, n + 1) = 1 n+1C(2n, n) ✐ n!y²K£
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