解答:令工为该运动员从第1天到第天比赛的总次数,1≤i≤25,Vx;:x;∈{1,…,41 因此对所有的x成立x2+8≤49。由于x1,x2,…,x25,x1+8,x2+8,…,x25+8共50个元素,且 每个元素均在集合{1,…,49}中,所以必存在两个元素相等 由于该运动员每天至少比赛一场,所以对于所有的1≤i<j≤25,成立r<x。所以存在i,j 使得x1+8=xj。即该运动员在从第天到第j天间恰好进行了8场比赛 2.在边长为1的正三角形内任意放入n2+1个点,证明:一定存在两点,其距离不超过1/,其 解答:对三角形的三边进行n等分,并连接相应的等分点。当n=3时三角形的划分情况如图1所 示。因此,一个边长为1的正三角形被分成了n2个小三角形,且每个三角形的边长为1/。所以若 将n2+1个点放入大三角形中,由抽屉原则,至少有两个点A、B在同一个小三角形中。因为小三角 形的边长为1/m,所以A、B间的距离不超过1/m 3.证明 解答:在二项式系数中,令y=1,则得 (x+1)=∑C(n,k)x=1+∑C(m,k)x k=1 对上式两边求导,得 n(x+1)-1=∑AC(n,4)x-1 k=1 令x=1,则 kC(n, k))‰µ-xiT$Ä l11U1iU'mogê§1 ≤ i ≤ 25, ∀xi : xi ∈ {1, · · · , 41}" Ïdé¤kxi¤áxi + 8 ≤ 49"dux1, x2, · · · , x25, x1 + 8, x2 + 8, · · · , x25 + 8
50‡ƒ§… z‡ƒþ38Ü{1, · · · , 49}¥§¤±73ü‡ƒƒ" duT$Ä zU'm|§¤±éu¤k1 ≤ i < j ≤ 25§¤áxi < xj"¤±3i, j§ ¦xi + 8 = xj"=T$Ä 3l1iU1jUmTÐ?1 8|'m" ✐ 2©3>1n/S?¿\n 2 + 1 ‡:§y²µ½3ü:§Ùål؇L1/n§Ù ¥n ∈ N" )‰µén/n>?1n©§¿ëƒA©:"n = 3žn/y©œ¹Xã1¤ «" Ïd§‡>1n/©¤ n 2‡n/§…z‡n/>1/n"¤±e òn 2 + 1‡:\Œn/¥§dÄTK§kü‡:A!B3Ӈn/¥"Ϗn />1/n§¤±A!Bmål؇L1/n" ✐ 3©y²µ Xn k=1 kC(n, k) = n2 n−1 )‰µ3‘ªXꥧ-y = 1§Kµ (x + 1)n = Xn k=0 C(n, k)x k = 1 +Xn k=1 C(n, k)x k éþªü>¦§µ n(x + 1)n−1 = Xn k=1 kC(n, k)x k−1 -x = 1§Kµ n2 n−1 = Xn k=1 kC(n, k) 3