C(m+n,m)=C(m+n-1,m)+C(m+n-1,m-1) 解答: 右边=(m+ m m! (n-1 n(m+n).+ mn!(m+n) m(m +n) m!n! (m+n) (m+n)! min =左边 5.证明 C(m,0)C(m,n)+C(m,1)C(m-1,n-1)+…+C(m,n)C(m-n,0)=2"C(m,n 解答:利用组合意义对此恒等式进行证明:假设有m个球,现要求取出其中的n个球并放入A,B两 个有区别的袋子中,求放置方法的总数。 恒等式左边的意义:可从m个球中先取出个球放入A袋中,并在剩余的m-i个球中取出n-i个 球放入B袋中,其中0≤i≤n。所以方法总数为C(m,0)C(m,n)+C(m,1)C(m-1,n-1)+…+ C(m, n)C(m-n, O 恒等式右边的意义:可从m个球中首先取出n个球。对于取出n个球中的每个球,都可将该球放 入A袋或不放入A袋(放入B袋)共两种可能性,所以方法总数为2C(m,n) 综上所述,恒等式成立✐ 4©y²µ C(m + n, m) = C(m + n − 1, m) + C(m + n − 1, m − 1) )‰µ m> = (m + n − 1)! m!(n − 1)! + (m + n − 1)! (m − 1)!n! = n(m + n)! m!n!(m + n) + m(m + n)! m!n!(m + n) = (m + n)! m!n! = †> (1) ✐ 5©y²µ C(m, 0)C(m, n) + C(m, 1)C(m − 1, n − 1) + · · · + C(m, n)C(m − n, 0) = 2nC(m, n) )‰µ|^|Ü¿Âédðª?1y²µbkm‡¥§y‡¦ÑÙ¥n‡¥¿\A§Bü ‡k«O•f¥§¦{oê" ðª†>¿ÂµŒlm‡¥¥kÑi‡¥\A•¥§¿3{m−i‡¥¥Ñn−i‡ ¥\B•¥§Ù¥0 ≤ i ≤ n"¤±{oêC(m, 0)C(m, n) + C(m, 1)C(m − 1, n − 1) + · · · + C(m, n)C(m − n, 0) ðªm>¿ÂµŒlm‡¥¥ÄkÑn‡¥"éuÑn‡¥¥z‡¥§ÑŒòT¥ \A•½Ø\A•£\B•¤
ü«ŒU5§¤±{oê2 nC(m, n)" nþ¤ã§ðª¤á" ✐ 4