的曲线方程应为: 分析本题可由小环在丝上的任何位置保持与丝相对静止这一条件和tn=得出轨迹的 dx 微分方程,然后积分即可。 证明设环的质量为m,位置坐标xy处丝的斜率为 10: 以丝为参照系,环受重力mg,弹力N和惯性力f作用,其中fn=mo32x 由题意环在金属丝上保持相对静止,如图26故在其切线方向有: f cos 8- mosin 8=0 所以tanb==m2 x,又tanb==x mg mg d x N 分离变量并积分 dy=o g 所以y=x2。证毕 图26 例6质量为m的汽车在恒定的牵引力下F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正 比,它能达到的最大速率是vm,试计算从静止加速到v/2所需的时间以及走过的路程。 分析由于汽车所受的阻力与其速率的平方成正比,是变量,故牛顿定律应写成微分形式,根 据提设条件积分求解。求解时要作变换a dv dy dx vd dt dx dt d 解根据题意,设汽车所受阻力f=-kv2,由牛顿第二定律有 dy 当加速度4=0车的速率最大,所以k= (2) n 联立(1)式和(2)式可得 dv (4) 由始末条件对(4)式两式积分:[d的曲线方程应为： g x y 2 2 2   。 分析 本题可由小环在丝上的任何位置保持与丝相对静止这一条件和 dx dy tan  得出轨迹的 微分方程，然后积分即可。 证明 设环的质量为 m，位置坐标 x,y 处丝的斜率为： dx dy tan  。 以丝为参照系，环受重力 mg，弹力Ｎ和惯性力 fn 作用，其中 f m x n 2   。 由题意环在金属丝上保持相对静止，如图 2-6 故在其切线方向有： f n cos  mg sin   0 所以 x g x mg m mg f n 2 2 tan       ，又 x dx g dy 2 tan     分离变量并积分 xdx g dy y x 2 0 0     ， 所以 2 2 2 x g y   。证毕。 例 6 质量为 m 的汽车在恒定的牵引力下 F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正 比，它能达到的最大速率是 vm，试计算从静止加速到 vm/2 所需的时间以及走过的路程。 分析 由于汽车所受的阻力与其速率的平方成正比，是变量，故牛顿定律应写成微分形式，根 据提设条件积分求解。求解时要作变换 dx vdv dt dx dx dv dt dv a    。 解 根据题意，设汽车所受阻力 2 f  kv ，由牛顿第二定律有 dt dv F  kv  ma  m 2 ， （1） 当加速度   0 dt dv a 车的速率最大，所以 v m F k 2  。 （2） 联立（1）式和（2）式可得 dt dv m v m v F(1  )  2 2 。 （3） 即 dv v m v F m dt 1 2 2 (1 )    。 （4） 由始末条件对（4）式两式积分： dv v m v F m dt t vm 1 2 2 0 0 (1 ) / 2      ， 所以 ln 3 2F mv t m  。 mg  N y 图 2-6 O x y x n f