(x1+x2-2x3)(x1+x3-2x2)(x2+x3-2x1) (-a1)3-3(-a)(-a1)2+9a2(-a1)-27(-a3) 6.若n次多项式f(x)的根为x1,x2,…,xn,而数c不是f(x)的根,证明 fc ii Ti-c f(c) 证明:考察多项式∫(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn),则 f(a=\ f() f(ar) f(a 从而 f(c) 7.设x1,x2,……,xn是方程 0 的根,证明:x2,r3,…,xn的对称多项式可表成x1与a1,a2,……,an的多项式 证明:设 f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-rn) (1)akI ak t ∑(-1)ak(x 由最后一式知x的各次项系数都是x1与a1,…,an的多项式(ao=1),从而x2,…,xn的初等对称多项 式是x1与a1,…,an的多项式,进而由对称多项式基本定理知x2,……,xn的对称多项式可表成是x1与 a1,……,an的多项式 f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn) rk 1)证 xk+1f(x)=(50x+s1x4-1+…+Sk-1x+5k)f(x)+g(x) 其中g(x)的次数<n或g(x)=0✾ (x1 + x2 − 2x3)(x1 + x3 − 2x2)(x2 + x3 − 2x1) = (x1 + x2 + x3 − 3x3)(x1 + x2 + x3 − 3x2)(x1 + x2 + x3 − 3x1) = (−a1) 3 − 3(−a1)(−a1) 2 + 9a2(−a1) − 27(−a3) = 2a 3 1 − 9a1a2 + 27a3. 6. r n ✘✒✙✒✚✒✛ f(x) ✕✒❢✴ x1, x2, · · · , xn, ✾✒✑ c ✽✒✏ f(x) ✕✒❢, ✜✣✢: Xn i=1 1 xi − c = − f 0 (c) f(c) . ✭✒✮: s✒t✒✙✒✚✒✛ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn), ✪ f 0 (x) = Xn i=1 f(x) x − xi , f 0 (x) f(x) = Xn i=1 1 x − xi , ✉ ✾ Xn i=1 1 xi − c = − f 0 (c) f(c) . ∗7. ✎ x1, x2, · · · , xn ✏✒❝✒❞ x n + a1x n−1 + · · · + an = 0 ✕✒❢, ✜✣✢: x2, x3, · · · , xn ✕✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒✿✒❫✒❤ x1 ★ a1, a2, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛. ✭✒✮: ✎ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn) = Xn k=0 (−1)k akx n−k . ✉ ✾ (x − x2)· · ·(x − xn) = f(x) x − x1 = f(x) − f(x1) x − x1 = Pn k=0 (−1)kakx n−k − Pn k=0 (−1)kakx n−k 1 x − x1 = nX−1 k=0 (−1)k ak(x n−k−1 + x n−k−2x1 + · · · + x n−n−1 ). ❍ ✷✒✈✒P✒✛✒● x ✕✒✇✒✘✒✚✒①✒✑✒✬✒✏ x1 ★ a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛ (a0 = 1), ✉ ✾ x2, · · · , xn ✕✒❩✒❬✒❭✒❪✒✙✒✚ ✛✒✏ x1 ★ a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛, ②✒✾ ❍ ❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒③✒④✒⑤✒⑥✒● x2, · · · , xn ✕✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒✿✒❫✒❤✒✏ x1 ★ a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛. ∗8. ✎ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn) = x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)nσn, sk = x k 1 + x k 2 + · · · + x k n , (k = 0, 1, 2, · · ·). (1) ✜✣✢: x k+1f 0 (x) = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)f(x) + g(x), ✰✣✱ g(x) ✕✒✘✒✑ < n ⑦ g(x) = 0. · 4 ·