14随机变量的概念 定义:设(g只,P)为一概率空间,X=X()为9上的一个实值函数,若对 任意实数x,X(-∞,x)∈7,则称X为(2,P)上的一个(实)随机变量。 称F(x)=P(x<x)=P(x∈(-,x)=P(x(-,x)为随机变量x的分布 函数 随机变量实质上是(7)到(R3(R)上的一个可测映射(函数)。记 (X)={x(BB∈(R)=,称(X)为随机变量X所生成的G域 推广到多维情形,随机向量X=(x1,x2…x)是()到(R?,a(R")上的 个可测映射。由可测映射在(R",a(R)上诱导出一个概率测度P ⅤB∈a(R"),P(B)=P(x(B) 15全概率公式和 Bayes公式 设{B}为Ω的一个分割,即{Bk)两两不交且∪B=9。 全概率公式:P(4)=∑P(4B)P(B) B公式;P(B|A=4B)PB别 ∑ P(AB,).P(B,) 2.特征函数和母函数 2.1特征函数 设X为n维实随机向量,称p()=Eex为X的特征函数( characteristic function)。性质: 1)(0)= 2)(有界)o(m)s1w∈R 3)(共轭对称)(w)=o(-) 4)(非负定)对任意给定正整数m,任意1,l2…tn∈R"和任意复数1.4 随机变量的概念 定义：设(Ω,F, P)为一概率空间， X = X (w) 为Ω 上的一个实值函数，若对 任意实数 x ，X −1 ((−∞, x))∈ F ，则称 X 为(Ω,F, P)上的一个（实）随机变量。 称 ( ) ( ) ( ( , )) ( (( , ))) 1 F x = P X < x = P X ∈ −∞ x = P X −∞ x − 为随机变量 X 的分布 函数。 随机变量实质上是 ( ) Ω,F 到 (R,B (R)) 上的一个可测映射 ( 函 数 )。记 = { ∈ B }⊂ F − ( ) ( ) ( ) 1 σ X X B B R ，称σ (X ) 为随机变量 X 所生成的σ 域。 推广到多维情形，随机向量 X = (X1 , X 2 ,LX n ) T 是(Ω,F )到( , ( )) n n R B R 上的 一个可测映射。由可测映射在( , ( )) n n R B R 上诱导出一个概率测度 PX ： ( ), ( ) ( ( )) 1 B R PX B P X B n − ∀ ∈ B = 1.5 全概率公式和 Bayes 公式 设{Bk }为Ω 的一个分割，即{Bk }两两不交且U = Ω 。 k Bk 全概率公式： = ∑ ⋅ k P A P A Bk P Bk ( ) ( ) ( ) Bayes 公式： ∑ ⋅ ⋅ = i i i k k k P A B P B P A B P B P B A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 特征函数和母函数 2.1 特征函数 设 X 为 n 维实随机向量，称 jw X 为T φ(w) = Ee X 的特征函数(characteristic function )。性质： 1) ϕ(0) = 1； 2) (有界) n ϕ(w) ≤ 1,∀w∈ R 3) (共轭对称) ； _______ ϕ(w) = ϕ(−w) 4) (非负定)对任意给定正整数 m ，任意 t1 ,t2 Ltm ∈ Rn 和任意复数 2