最佳的多项式阶数值的确定与上述章节中半径拟合时相同，这里不在赘述。为书写方便，本章节 中下标uvg简写为a。 降温法5K-299K线性热膨胀系数α及其标准不确定度(a)的拟合函数分别为： 107.a(T）=8.72×10-12T6-9.18×109T5+3.79×106T4-7.57×10T3+7.03×10-2T2-1.47T+9.673 (9) 10.a(T)=4.74×10-2T6-4.07×109T5+1.35×106T4-2.18×10T3+1.76×10-2T2-0.64T+8.85 (10) 其中，公式9拟合残差的标准不确定度为3.3×108K,小于实验标准不确定度()，公式7拟合残 差影响可以忽略不计：公式10计算的残差仅为实验标准不确定度)的2.2%，具有很好的复现性。 控温法4.3K-26K线性热膨胀系数aα及其标准不确定度(a)的拟合函数分别为： 10.a(T)=5.5076×10-3T3-7.29465×10-2T2+6.20987T-1.75577 (11) 10°.ua(T）=1.88953×106T3+1.32594×10-2T2-3.22805T+246 (12) 公式11的拟合残差的标准不确定度为4.1×100，实验标准不确定度与温度的关系如公式12所示， 由于4.3K-26K控温法测量结果更优，实际使用时在4.3K-26K温度区间内建议采用公式11进行 计算，26K-299K温度区间内建议采用公式9进行计算。△ 上述方程不仅可以用于等温压缩系数和热力学温度的升算，还可以用于真空实验数据预处理， 不同温度下微波谐振频率可由公式13相互转换。在真空实验中，如果在计划之外缺少了某个实验状 态的微波谐振频率，我们就可以利用公式13结合线性 胀系数关联方程a(T)计算获得。 (13) 4结论 基于多模式微波谐振法，本文原位测量了定压气体折射率基准测温系统中C-ETP线性热膨胀 系数，采用降温法和控温法两种雾验测量方法，获得了4.3K-299K范围内一组完整、高精度的C山- ETP热膨胀系数数据。 降温法(5K-299K)线性热膨胀系数测量标准不确定度为2.2×10K,其中，重复性是其测 量不确定度的主要来源，室温⑧不确定度较大主要是由于重复实验的开机条件不同引起。控温法 (4.3K-26K)线性热膨胀系数的测量标准不确定度为2.9×10K,其中，微波模式一致性和重复 性是其测量不确定度的两大主要来源。这两种测量方法都采集了多个模式微波数据，计算结果也反 映了良好的模式一致性。控温稳定性高、微波测量噪声低，控温法获得的线性热膨胀系数结果更为精 确，与降温法，不确定度约小两个数量级，控温法更适用于高精度线性热膨胀系数的实验测量。 最终，发展定压气体折射率基准测温系统中C-ETP材料的线性热膨胀系数方程，实现了线 性热膨胀系数与温度的高精度关联，可用于低温计量领域等温压缩系数等物性测量计算、微波谐振 频率测量的准确性检验以及真空条件下不同温度微波谐振频率的修正计算。 参考文献 [1]William,D,Phillips.The end of artefacts.Nature Physics,2019,15:518 [2]https://www.bipm.ore/utils/en/pdf/si-mep/SI-App2-second.pdf [3]Gaiser C,Fellmuth B,Haft N.Primary thermometry from 2.5 K to 140 K applying dielectric-constant gas thermometry. Metrologia,2017,54(1):141最佳的多项式阶数值 Jopt的确定与上述章节中半径拟合时相同，这里不在赘述。为书写方便，本章节 中下标avg简写为。 降温法 5 K-299 K 线性热膨胀系数及其标准不确定度 u()的拟合函数分别为：   7 12 6 9 5 6 4 4 3 2 2 10 =8.72 10 9.18 10 3.79 10 7.57 10 7.03 10 1.47 9.6  T T T T T T T 73                  (9)   8 12 6 9 5 6 4 4 3 2 2 10 =4.74 10 4.07 10 1.35 10 2.18 10 1.76 10 0.64 8.8 u T T T T T T T  5                  (10) 其中，公式 9 拟合残差的标准不确定度为 3.3×10-8 K -1，小于实验标准不确定度 u()，公式 7 拟合残 差影响可以忽略不计；公式 10 计算的残差仅为实验标准不确定度 u()的 2.2%，具有很好的复现性。 控温法 4.3 K-26 K 线性热膨胀系数及其标准不确定度 u()的拟合函数分别为：   8 3 3 2 2 10 =5.5076 10 7.29465 10 6.20987 1.75577  T T T T         (11)   9 6 3 2 2 10 =1.88953 10 1.32594 10 3.22805 2.4634 u T T T T          (12) 公式 11 的拟合残差的标准不确定度为 4.1×10-10，实验标准不确定度与温度的关系如公式 12 所示， 由于 4.3 K-26 K 控温法测量结果更优，实际使用时在 4.3 K-26 K 温度区间内建议采用公式 11 进行 计算，26 K-299 K 温度区间内建议采用公式 9 进行计算。 上述方程不仅可以用于等温压缩系数和热力学温度的计算，还可以用于真空实验数据预处理， 不同温度下微波谐振频率可由公式 13 相互转换。在真空实验中，如果在计划之外缺少了某个实验状 态的微波谐振频率，我们就可以利用公式 13 结合线性热膨胀系数关联方程(T)计算获得。       1 2 2 ,0 ,0 = 1 T T T T f f T dT           (13) 4 结论 基于多模式微波谐振法，本文原位测量了定压气体折射率基准测温系统中 Cu-ETP 线性热膨胀 系数，采用降温法和控温法两种实验测量方法，获得了 4.3 K-299 K 范围内一组完整、高精度的 Cu￾ETP 热膨胀系数数据。 降温法（5 K-299 K）线性热膨胀系数测量标准不确定度为 2.2×10-7 K-1，其中，重复性是其测 量不确定度的主要来源，室温区不确定度较大主要是由于重复实验的开机条件不同引起。控温法 （4.3 K-26 K）线性热膨胀系数的测量标准不确定度为 2.9×10-9 K-1，其中，微波模式一致性和重复 性是其测量不确定度的两大主要来源。这两种测量方法都采集了多个模式微波数据，计算结果也反 映了良好的模式一致性。控温稳定性高、微波测量噪声低，控温法获得的线性热膨胀系数结果更为精 确，与降温法相比，不确定度约小两个数量级，控温法更适用于高精度线性热膨胀系数的实验测量。 最终，发展了定压气体折射率基准测温系统中 Cu-ETP 材料的线性热膨胀系数方程，实现了线 性热膨胀系数与温度的高精度关联，可用于低温计量领域等温压缩系数等物性测量计算、 微波谐振 频率测量的准确性检验以及真空条件下不同温度微波谐振频率的修正计算。 参 考 文 献 [1] William, D, Phillips. The end of artefacts. Nature Physics, 2019, 15:518 [2] https://www.bipm.org/utils/en/pdf/si-mep/SI-App2-second.pdf [3] Gaiser C, Fellmuth B, Haft N. Primary thermometry from 2.5 K to 140 K applying dielectric-constant gas thermometry. Metrologia, 2017, 54 (1): 141 录用稿件，非最终出版稿