8 长江大学学报（自然科学版） 2010年6月 在小球面上，由于（内法向量）与球径r指向相反，故有： ∂1 =- an rMoM a〔山=↓= ar rM riM 从而： du →4πu(Mo) (E→0) 0 oM M。Man an 式中， du 分别是函数u和器在球面卫上的平均值。 在大球面吸上，由文献6知： H(M)=OR (R+∞) 元与球径r指向相同，故： (表示的外法单位向量) 由三角不等式row≤roM,十rw可得： sas K T 4 R'K ≤RRas=RR-.0 (R→十) 0L ≤Rg RL→0 =R2R-o） () 在式(2)中，令e→0，R→+∞可得： uCM)=-I uanr-别ds (3) 4怀 式中，的法向量指向内侧。 2 Dirichlet外问题的Green函数及其满足的条件 从式(3)可以看出，要想求解嗣题（④，必须消除器项为此、考虑调和函数gM6)满足条 件： △g(M,Mo)=0M∈2 g(M.Mo)= lim g(M,Mo)=0 作以原点O为球心，任意大的正数R为半径的球面R,使得R包含，并记与所夹的区域为。 在以U为边界的区域R上，对调和函数ug应用格林第二公式！可得： 0= 即 0--别s+g器别as g an (4) 在球面上，由于： ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net在小球面 Γε上, 由于 n (内法向量)与球径 r 指向相反 ,故有: n 1 r M0 M =- r 1 r M0 M = 1 r 2 M0 M = 1 ε2 从而 : Γε u n 1 r M0 M - 1 r M0 M u n dS =4πu -4πε u n ※4πu(M0) (ε※0) 式中 , u 、 u n 分别是函数u 和 u n 在球面 Γε 上的平均值 。 在大球面 ΓR 上 , 由文献[ 6] 知 : u(M)=O 1 R u r =O 1 R 2 (R ※+∞) n 与球径r 指向相同 ,故 : n 1 r M0 M = 1 rM0 M ·n 0 ≤ 1 r M0 M = 1 r 2 M0 M ( n0 表示 ΓR 的外法单位向量) 由三角不等式 rOM ≤rOM0 +r M0 M 可得 : ΓR u n 1 r M0 M dS ≤ ΓR u n 1 r M0 M dS ≤ ΓR 1 r 2 M0 M |u |dS ≤ K R(R -rOM0)2 ΓR dS = 4πR 2K R(R -rOM 0)2 ※0 (R ※+∞) ΓR 1 r M0 M u n dS ≤ ΓR 1 r M0 M u r dS ≤ 1 R -rOM0 ΓR u r dS ≤ L R 2(R -rOM0 ) ΓR dS = 4πR 2 L R 2(R -rOM0) ※0 (R ※+∞) 在式(2)中, 令 ε※0 ,R ※+∞可得: u(M0)=- 1 4π ΓR u n 1 r M0M - 1 r M0 M u n dS (3) 式中 , ΓR 的法向量指向内侧 。 2 Dirichlet 外问题的 Green 函数及其满足的条件 从式 (3)可以看出 , 要想求解问题 (1), 必须消除 u n 项。为此 , 考虑调和函数 g(M , M0)满足条 件: Δg(M , M0)=0 M ∈ Ψ′ g(M , M0)|Γ = 1 4πr M0 M |Γ lim r OM ※+∞ g(M , M0)=0 作以原点O为球心 ,任意大的正数R 为半径的球面ΓR ,使得 ΓR 包含Γ,并记 ΓR 与 Γ所夹的区域为ΨR 。 在以 Γ∪ ΓR 为边界的区域 ΨR 上, 对调和函数 u 、g 应用格林第二公式 [ 3] 可得: 0 = Γ ∪ΓR g u n -u g n dS 即: 0 = Γ g u n -u g n dS + ΓR g u n -u g n dS (4) 在球面 ΓR 上, 由于 : · 8 · 长江大学学报 (自然科学版) 2010 年 6 月