当p是偶数时, P n+1-l n+2 +(l l1.A)+…+(l n+p n+p u <u ntp n+1 因而成立 n+1+ P ntp < 由imln=0,对于任意给定的s>0,存在正整数N,使得对一切 n→0 1> h+1<E, 于是,对一切正整数p成立 xr+1+xn+2+…+xn+p≤lm+1<E, 根据定理941, Leibniz级数∑(-)un收敛。当 p 是偶数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1un+p = ⎩⎨⎧ <−−−− ≥−++−+− + ++ + + ++ ++ +−+ )( , ()()( ,0) 1 32 1 21 43 1 n nn npn nn nn pnpn uuu uu uuuu uu " " 因而成立 ｜xn+1 + xn+2 +"+ xn+p｜ =｜un+1 - un+2 + un+3 −"+ (-1)p+1un+p｜≤ un+1 。 由lim n→∞ un = 0，对于任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得对一切 n >N， un+1< ε ， 于是，对一切正整数 p 成立 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜≤ un+1< ε ， 根据定理 9.4.1，Leibniz 级数∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n u 收敛