·1104· 智能系统学报 第14卷 程度相同，即G(ar)=G(ae)。 因此H(DP)可以取到最小值，且为O。 则得到 2)当Tp(w)=U,U/D={1,{2h,…,{4uh,且当所 H(XIP)=G(ap)H(XIP)=G(aQ)H(XIQ)=H(X|Q) 有条件属性值缺失时，H(DIP)达到最大值2IogU 3)单调性：因为函数fx,y)=-xlog(x/x+y)在 当所有条件属性值缺失时，即IQ(w训=UI×PI, 区间x≥0，y≥0上单调递增，且fx,y)≥0，所以 得a=IU,又因为T(4)=U,U/D={l,{2…,{u} 式(6)中一个因子H(XP)≥0，且单调递增，另一 所以，利用式（⑦）得H(D1P)=2u1ogIU。 个因子为函数G(a)=2”>0,且单调递增，所以H.(X 因此，决策属性D相对属性P的条件熵取值 P)≥0，且单调递增，即满足单调性。 范围为0≤H(DIP)≤21ogIW。 由此可知，式(6)是非完备信息系统下的一种 性质3设IDS=(U,CUD,Vf,PQSC,*Vo,*∈ 不确定性度量。 Vc是一非完备决策系统，其中U/T(P)={T(), 考虑非完备信息系统中目标概念的不确定性 Tp(2,…,Tp(4)h,U/D={Y,Yz,…,Ym}。对于任意 程度，可诱导出非完备决策系统中知识的不确定 4∈Ua∈C,(i∈1,2，…，UD,将fu,a)≠*转化为， 性度量。 a)=*,得到改变后的非完备决策系统DS'。则改 定义8设DS=(U,CUD,V,f),P∈C,*年Vo,*EVc 变后的非完备决策系统下决策属性D相对属性 是一个非完备决策系统，U/T(P)={T(),Tp(),…, P的条件熵大于原决策系统下决策属性D相对 Tr(4uh,XsU,T()是在U上定义的相容关系下 属性P的条件熵，即H(DP)>H(DP)。 的相容类，U/D={Y,Y2,…,Ym}。则决策属性D相 证明由于u,∈U,a∈C,(ie1,2,…,UD,将f(u, 对属性P的条件嫡定义为： a)≠*转化为f,a)=*,则Tp(u)sTp'(u)。由定理 H(DIP)=- Tr(u)nY log 1可知，一因子H(XP)随着T()变粗，单调递 (7) 1=1 ITp(ua) 增，则H'(YP)≥H(YP),G=1,2,…,m),即 性质1设DS=(U,CUD,V,f),P,QCC,*生Vn,*∈ 马lT')nyoT'r)ny log Vc是一非完备决策系统，其中U/T(P)=(T(), I0 IT(uiyI Tr(,…,Tn(4h,U/T(Q)={Te(4),…,Te(4h,若 T)nY以g T-(u)nY T(u训=Te(,且在属性集P与属性集Q下的 IUI IT (u) ,j=1,2.…,m) 缺失值程度相同，即ap=ae,则H(DP)=H(D1Q)。 则 性质1表明本文构造的条件熵满足不确定度 量的不变性条件，即若2个知识P,QSC,粗细相 lTnYylranY, log Te(uiYl 同，且缺失值程度相同时，它们具有相同的不确 101 定性度量值，这意味着知识粒度粗细程度及属性 T-(u)nY 值缺失程度相同，其不确定性也相同。 22 IU☑ log T(u 性质2设DS=(U,CUD,Vf,P,QSC,*生Vo,*∈ 又因为改变后的非完备决策系统DS的缺失 Vc是一非完备决策系统，其中U/T(P)={T(),TP 值增多，即a>a,也即 (,…,T(4ul,U/D={Y,Y2,…,Ymo决策属性D相对 22 属性P的条件嫡取值范围为0≤H(DIP)≤21ogIU。 可可 证明1)当T()SY,时，H(DP)取最小值为0。 所以 由T()sY可知，对任意的∈U,有 H(DP)>H(DP) IT-(u)Y_T(=1 性质3表明由定义8构造的条件嫡满足不确 TP(uil Te(uil 定性度量的单调性条件，即若2个知识PQSC, 则 P≤Q,且IQ(l<2o(u),则决策属性D相对属 T-(u)OY 性P的条件嫡小于决策属性D相对属性Q的条 log 1=0 ITp(ui)l 件熵，这意味着非完备决策信息系统存在的缺失 根据定义8得HDP)=0。反之，若T(u)￠ 值越多，则条件熵越大，不确定性也越大。 Y,则 性质4非完备决策系统DS=(U,CUD,V,f), 退化为完备决策信息系统DS=(U,CUD,V,f),其 中PC,U/T(P)={T(4),Tp(u),…,Tr(4uh,U/D=Y, 又2始终大于零，所以H(DP)≠0产生矛盾， Y2,…,Ym}。则完备决策系统中决策属性D相对属程度相同，即 G(αP) = G(αQ)。 则得到 Hα(X |P)=G(αP) H(X |P)=G(αQ) H(X |Q)=Hα(X |Q) f(x, y) = −x log(x/x+y) x ⩾ 0, y ⩾ 0 f(x, y) ⩾ 0 H(X/P) ⩾ 0, G(α) = 2 α > 0, Hα (X |P) ⩾ 0 3) 单调性：因为函数 在 区间 上单调递增，且 ，所以 式 (6) 中一个因子 且单调递增，另一 个因子为函数 且单调递增，所以 ，且单调递增，即满足单调性。 由此可知，式 (6) 是非完备信息系统下的一种 不确定性度量。 考虑非完备信息系统中目标概念的不确定性 程度，可诱导出非完备决策系统中知识的不确定 性度量。 IDS=⟨U,C∪D,V, f⟩，P ⊆ C，∗<VD，∗∈ VC U/T(P) = {TP(u1),TP(u2),··· , TP(u|U|)},X ⊆ U TP(ui) U U/D = {Y1,Y2,··· ,Ym} D P 定义8 设 是一个非完备决策系统， ， 是在 上定义的相容关系下 的相容类， 。 则决策属性 相 对属性 的条件熵定义为： H(D|P) = − 2 α |U| ∑ |U| i=1 ∑m j=1   TP(ui)∩Yj    |U| log   TP(ui)∩Yj    |TP(ui)| (7) IDS=⟨U,C∪D,V, f⟩, P,Q ⊆ C, ∗< VD, ∗∈ VC U/T(P) = {TP(u1), TP(u2),··· ,TP(u|U|)},U/T(Q)={TQ(u1),··· ,TQ(u|U|)}, |TP(ui)| =   TQ(ui)   , P Q αP = αQ, H(D|P) = H(D|Q) 性质1 设 是一非完备决策系统，其中 若 且在属性集 与属性集 下的 缺失值程度相同，即 则 。 P,Q ⊆ C, 性质 1 表明本文构造的条件熵满足不确定度 量的不变性条件，即若 2 个知识 粗细相 同，且缺失值程度相同时，它们具有相同的不确 定性度量值，这意味着知识粒度粗细程度及属性 值缺失程度相同，其不确定性也相同。 IDS=⟨U,C ∪ D,V, f⟩,P,Q ⊆ C,∗ < VD,∗ ∈ VC U/T(P) = {TP(u1),TP (u2),··· ,TP(u|U|)},U/D={Y1,Y2,··· ,Ym} D P 0 ⩽ H(D|P) ⩽ 2 |U| log|U| 性质2 设 是一非完备决策系统，其中 。决策属性 相对 属性 的条件熵取值范围为 。 证明 1) 当 TP(ui) ⊆ Yi时， H(D|P) 取最小值为 0。 由 TP(ui) ⊆ Yi 可知，对任意的 ui ∈ U ，有   TP(ui)∩Yj    |TP(ui)| = |TP(ui)| |TP(ui)| = 1 则 log   TP(ui)∩Yj    |TP(ui)| = 0 H(D|P) = 0 TP(ui) 1 Yi 根据定义 8 得 。反之，若 ，则 ∑ |U| i=1 ∑m j=1   TP(ui)∩Yj    |U| log   TP(ui)∩Yj    |TP(ui)| , 0 2 又 α 始终大于零，所以 H(D|P) , 0 产生矛盾， 因此 H(D|P) 可以取到最小值，且为 0。 TP(ui) = U,U/D = {{u1},{u2},··· ,{u|U|}}, H(D|P) 2 |U| log|U| 2) 当 且当所 有条件属性值缺失时， 达到最大值 。 |Q(ui)| = |U|×|P|, α = |U| TP(ui)=U U/D={{u1},{u2},··· ,{u|U|}} H(D|P) = 2 |U| log|U| 当所有条件属性值缺失时，即 得 ，又因为 ， 所以，利用式 (7) 得 。 D P 0 ⩽ H(D|P) ⩽ 2 |U| log|U| 因此，决策属性 相对属性 的条件熵取值 范围为 。 IDS = ⟨U,C ∪ D,V, f⟩,P,Q ⊆ C,∗ < VD,∗ ∈ VC U/T(P) = {TP(u1), TP(u2),··· ,TP(u|U|)},U/D = {Y1,Y2,··· ,Ym} ui ∈ U,a ∈ C,(i ∈ 1,2,··· ,|U|) f(ui ,a) , ∗ (ui , a) = ∗ IDS′ D P D P H ′ (D|P) > H(D|P) 性质3 设 是一非完备决策系统，其中 。对于任意 ，将 转化为 f ，得到改变后的非完备决策系统 。则改 变后的非完备决策系统下决策属性 相对属性 的条件熵大于原决策系统下决策属性 相对 属性 的条件熵，即 。 ∀ui ∈ U,a ∈ C,(i ∈ 1,2,··· ,|U|), f(ui , a) , ∗ f(ui ,a) = ∗ TP(ui) ⊆ TP ′ (ui) H(X |P) TP(ui) H ′ (Yj |P) ⩾ H(Yj |P),(j = 1,2,··· ,m) 证明 由于 将 转化为 ，则 。由定理 1 可知，一因子 随着 变粗，单调递 增，则 ，即 − ∑ |U| i=1   T ′ P(ui)∩Yj    |U| log   T ′ P(ui)∩Yj    |TP(ui) ′ | ⩾ − ∑ |U| i=1   TP(ui)∩Yj    |U| log   TP(ui)∩Yj    |TP(ui)| ,(j = 1,2,··· ,m) 则 − ∑ |U| i=1 ∑m j=1   T ′ P(ui)∩Yj    |U| log   T ′ P(ui)∩Yj    |TP(ui) ′ | ⩾ − ∑ |U| i=1 ∑m j=1   TP(ui)∩Yj    |U| log   TP(ui)∩Yj    |TP(ui)| IDS′ α ′ > α 又因为改变后的非完备决策系统 的缺失 值增多，即 ，也即 2 α ′ |U| > 2 α |U| 所以 H ′ (D|P) > H(D|P) P,Q ⊆ C P ⪯ Q |QP(ui)| <   QQ(ui)    D P D Q 性质 3 表明由定义 8 构造的条件熵满足不确 定性度量的单调性条件，即若 2 个知识 ， ，且 ，则决策属性 相对属 性 的条件熵小于决策属性 相对属性 的条 件熵，这意味着非完备决策信息系统存在的缺失 值越多，则条件熵越大，不确定性也越大。 IDS = ⟨U,C ∪ D,V, f⟩, DS = ⟨U,C ∪ D,V, f⟩, P ⊆ C,U/T(P)={TP(u1),TP(u2),··· ,TP(u|U|)},U/D={Y1, Y2,··· ,Ym} D 性质 4 非完备决策系统 退化为完备决策信息系统 其 中 。则完备决策系统中决策属性 相对属 ·1104· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷