第6期 高文华，等：非完备决策信息系统中的不确定性度量 ·1103· 性；2)粗糙集边界引起的集合不确定性。然而对 下缺失值的个数。以下出现的相同符号意义与此 于非完备信息系统，经过分析发现：已有的不确 相同，不再赘述。 定性度量方法在同一非完备信息系统中，相同属 基于上述分析，构造出非完备信息系统中目 性集下的属性值缺失程度不同所形成的系统会得 标概念的不确定性度量。 到相同的度量值，这时，如果直接应用已有的度 定义7设IS=(U,Vf,A),PSA,是一个非完备 量公式来度量非完备信息系统的不确定性，就存 信息系统，U/T(P)={Tr(,Tp(,…,Tp(4)h,XU, 在一定的局限性，因为已有的度量方法只考虑了 则目标概念X在覆盖U/T(P)下的不确定性度量为： 非完备信息系统中由于知识粒度引起的不确定性 yTnN1og号 H.xIP)- IT(u)OXI 以及由粗糙集边界带来的集合不确定性，而没有 IU川 (6) TP(uil 考虑由于属性值缺失所引起的不确定性。针对以 定义7给出了非完备信息系统中目标概念的 上问题，本文在非完备信息系统中提出一种考虑 不确定性度量，该度量不但反映了非完备信息系 缺失值程度的不确定性度量，并进一步考虑了非 统中由于知识粒度及集合引起的不确定性，还反 完备决策信息系统中的不确定性度量，提出新的 映了由于属性值缺失所引起的不确定性。 条件嫡，讨论了其相关性质。从新的角度验证并 定理1设IS=(U,Vf,A,PSA,是一个非完 说明条件嫡能够更加精确地度量非完备决策系统 备信息系统，XcU,那么H(XP)是定义5下的 的不确定性。 不确定性度量。 通过以上分析，将完备信息系统下的不确定 证明式(6)是由2部分因子组成，其中一个 性度量公理化定义推广到非完备信息系统中，提 出如下非完备信息系统中不确定性度量满足条件。 因子为HxP)=-Xjog Cnx,另 定义5设IS=(U,Vf,A),PsA,是一个非完 备信息系统，X二U,(U)是U上所有覆盖的全体 一个因子为G@=可 Y=Tp(u)OX,Y=T(u)nX,x=IY=IT(u)0 集合，T(U)是U的幂集，若存在平(U「(U)到实数 ,y=Y1=Tu)nX9、X=U-X.则 集R的映射函数H(XIP):(UT(U)→R,满足如 Tp(ua)=YiUYf,ITp(ua)I IY;UY1=IY+IYI=x;+yi 下条件，则称它为目标概念X在覆盖UT(P)下的 所以 不确定性度量。 1)非负性：YPSA,有HXIP)≥0。 H(XIP)=- 凸Tu)X)nX_ IUI log lT-(u:川 2)不变性：若YP、QSA,有HXIP)=HXIQ), 那么存在映射f:U/T(P)→U/T(Q),使得对于任意 x:+y月 ie{1,2,…,UI,有Tp(u=f(Tp()川，且在属性集P 与属性集Q下的缺失值程度相同，其中，U/TP)= 易知函数fx)=-xog x中在x≥0≥0范 T(u),Tn(）,…,Tp(4ul,U/T(Q)={Te(u,Te(),…, 围内单调递增，且f0,0)=0,则fx,y)≥0，故H(X To(uu)lo 1P)≥0。 3)单调性：YP、QSA,若P≤Q,且属性集P 1)非负性：易知a≥0，所以G(a)>0。又因为 比属性集Q下的缺失值程度小，则H(XIP)<H(XIQ)。 HXIP)≥0.得H(XIP)≥0： 基于上述条件，构造出非完备信息系统中知 对于任意T(w,)∈U/T(P),当且仅当T(u)nX= 识的不确定性度量。 中或T()cX时，有H.(XP)=0。 定义6设IS=(U,Vf,A,PCA,是一个非完备信 2)不变性：若VP.OCA,要使H(XIP)=H(XIQ), 息系统，XU,U/T(P)={Tp(山)，Tp(2),…,T(4M, 则必对覆盖U/T(P)={T(u),T(),…,Tr(4uM,U/T 则属性集P在论域U上的信息嫡定义为： (Q)=Te(),Te(),…,Te(4)h,有ITp(ul=Te()i∈ H.(P)=-z 分To 1,2,…,Ul),即 (5) 0台101 H(X P)=- ( IT(uaOXI log 号Q 1U1 TP(ui)l 吗lTe(4)nX,Te(u)nX 式中：= 一Q(4)={ala∈PAa()=*4∈U: =H(XIQ) P To(u i=1,2,…,U八；lQ(u训表示对象4在条件属性描述 又必须在属性集P与属性集Q下的缺失值性；2) 粗糙集边界引起的集合不确定性。然而对 于非完备信息系统，经过分析发现：已有的不确 定性度量方法在同一非完备信息系统中，相同属 性集下的属性值缺失程度不同所形成的系统会得 到相同的度量值，这时，如果直接应用已有的度 量公式来度量非完备信息系统的不确定性，就存 在一定的局限性，因为已有的度量方法只考虑了 非完备信息系统中由于知识粒度引起的不确定性 以及由粗糙集边界带来的集合不确定性，而没有 考虑由于属性值缺失所引起的不确定性。针对以 上问题，本文在非完备信息系统中提出一种考虑 缺失值程度的不确定性度量，并进一步考虑了非 完备决策信息系统中的不确定性度量，提出新的 条件熵，讨论了其相关性质。从新的角度验证并 说明条件熵能够更加精确地度量非完备决策系统 的不确定性。 通过以上分析，将完备信息系统下的不确定 性度量公理化定义推广到非完备信息系统中，提 出如下非完备信息系统中不确定性度量满足条件。 IS = ⟨U,V, f,A⟩,P ⊆ A, X ⊆ U Ψ(U) U Γ(U) U Ψ(U) Γ(U) R 1 H(X |P) Ψ(U)Γ(U) → R 1 X U/T(P) 定义 5 设 是一个非完 备信息系统， ， 是 上所有覆盖的全体 集合， 是 的幂集，若存在 到实数 集 的映射函数 ： ，满足如 下条件，则称它为目标概念 在覆盖 下的 不确定性度量。 1) 非负性： ∀P ⊆ A, 有 H(X |P) ⩾ 0。 ∀P、Q ⊆ A, H(X |P) = H(X |Q) f U/T(P) → U/T(Q) i ∈ {1,2,··· ,|U|}, |TP(ui)| = | f(TP(ui))| P Q {TP(u1), TP(u|U|)},U/T(Q) = {TQ(u1),TQ(u2),··· , TQ(u|U|)} 2) 不变性：若 有 ， 那么存在映射 ： ，使得对于任意 有 ，且在属性集 与属性集 下的缺失值程度相同，其中，U/T(P) = TP（u2）,···, 。 ∀P、Q ⊆ A, P ⪯ Q P Q H(X |P) < H(X |Q) 3) 单调性： 若 ，且属性集 比属性集 下的缺失值程度小，则 。 基于上述条件，构造出非完备信息系统中知 识的不确定性度量。 IS = ⟨U,V, f,A⟩,P ⊆ A, X ⊆ U U/T(P) = {TP(u1),TP(u2),··· ,TP(u|U|)} P U 定义6 设 是一个非完备信 息系统， ， ， 则属性集 在论域 上的信息熵定义为： Hα(P) = − 2 α |U| ∑ |U| i=1 |TP(ui)| |U| log |TP(ui)| |U| (5) α = ∑ |U| i=1 |Q(ui)| |P| ;Q(ui) = {a|a ∈ P∧a (ui) = ∗};ui ∈ U; i = 1,2,··· ,|U| |Q(ui)| ui 式中： ； 表示对象 在条件属性描述 下缺失值的个数。以下出现的相同符号意义与此 相同，不再赘述。 基于上述分析，构造出非完备信息系统中目 标概念的不确定性度量。 IS = ⟨U,V, f,A⟩,P ⊆ A, U/T(P) = {TP(u1),TP(u2),··· ,TP(u|U|)} X ⊆ U, X U/T(P) 定义 7 设 是一个非完备 信息系统， ， 则目标概念 在覆盖 下的不确定性度量为： Hα(X |P) = − 2 α |U| ∑ |U| i=1 |TP(ui)∩ X| |U| log |TP(ui)∩ X| |TP(ui)| (6) 定义 7 给出了非完备信息系统中目标概念的 不确定性度量，该度量不但反映了非完备信息系 统中由于知识粒度及集合引起的不确定性，还反 映了由于属性值缺失所引起的不确定性。 IS = ⟨U,V, f,A⟩,P ⊆ A, X ⊆ U Hα(X |P) 定理 1 设 是一个非完 备信息系统， ，那么 是定义 5 下的 不确定性度量。 H(X |P) = − ∑ |U| i=1 |TP(ui)∩ X| |U| log |TP(ui)∩ X| |TP(ui)| G(α) = 2 α |U| 证明 式 (6) 是由 2 部分因子组成，其中一个 因子为 ，另 一个因子为 。 Yi =TP(ui)∩ X，Yi c =TP(ui)∩ X c，xi =|Yi |=|TP(ui)∩ X|，yi = |Yi c | = |TP(ui)∩ X c |、X c = U − X。 设 则 TP(ui) = Yi ∪Yi c ,|TP(ui)| = |Yi ∪Yi c | = |Yi |+|Yi c | = xi +yi 所以 H(X |P) = − ∑ |U| i=1 |TP(ui)∩ X| |U| log |TP(ui)∩ X| |TP(ui)| = − ∑ |U| i=1 xi |U| log xi xi +yi f(x, y) = −x log x x+y x ⩾ 0, y ⩾ 0 f(0,0) = 0 f(x, y) ⩾ 0 H (X |P) ⩾ 0 易知函数 在 范 围内单调递增，且 ，则 ，故 。 α ⩾ 0 G(α) > 0 H(X |P) ⩾ 0 Hα(X |P) ⩾ 0 1) 非负性：易知 ，所以 。又因为 ，得 ； TP(ui) ∈ U/T(P), TP(ui)∩ X= ϕ TP(ui) ⊆ X Hα(X |P) = 0 对于任意 当且仅当 或 时，有 。 ∀P,Q ⊆ A, H(X |P) = H(X |Q), U/T(P) = {TP(u1),TP(u2),··· ,TP(u|U|)} U/T (Q)=TQ(u1),TQ(u2),··· ,TQ ( u|U| )} |TP(ui)|=   TQ(ui)   (∀i ∈ {1,2,··· ,|U|}), 2) 不变性：若 要使 则必对覆盖 ， ，有 即 H(X |P) = − ∑ |U| i=1 |TP(ui)∩ X| |U| log |TP(ui)∩ X| |TP(ui)| = − ∑ |U| i=1   TQ(ui)∩ X    |U| log   TQ(ui)∩ X      TQ(ui)    = H(X |Q) 又必须在属性集 P 与属性集 Q 下的缺失值 第 6 期 高文华，等：非完备决策信息系统中的不确定性度量 ·1103·