(11…1 ,左乘矩阵A,λ乘A的各行元素;右乘,乘A的各列元素 ③、对调两行或两列,符号ED),且ED=ED,例如:1 ④、倍乘某行或某列,符号E(i(k),且E(i(k)=E(i(),例如 k 、倍加某行或某列,符号E(k),且E((k)=E((-k),如:1 k≠ 5.矩阵秩的基本性质 ①、0≤r(An)≤min(m,n) r(A=r(A ③、若A-B,则r(A)=r(B) ④、若P、Q可逆,则r(4)=r(PA=r(4Q)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max(r(A)r(B)≤r(A,B)≤r(A)+r(B);(※) ⑥、r(A+B)≤r(A)+r(B);(※) ⑦、r(AB)≤mn(r(A),r(B):(※) ⑧、如果A是mxn矩阵,B是nxs矩阵,且AB=0,则:(※) Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论) Ⅱ、r(4)+r(B)≤n ⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)≥r(A)+r(B)-n 6.三种特殊矩阵的方幂 ①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)×行矩阵(向量)的形式,再采用结合律 ②、型如01b的矩阵:利用二项展开式 00 二项展开式:(a+b)"=Cma"+Cn"b+…+Cma"b"+…+C"db"+C"b"=∑Cma"b 注:I、(a+b)"展开后有n+1项; (n-m+1) Ⅲ、组合的性质:Cm=Cn rC=nC ③、利用特征值和相似对角化: 7.伴随矩阵: r(A)=l ①、伴随矩阵的秩:r(A)= r(A)=n-1 r(A)<n-13 ②、 1 2 n      =            ，左乘矩阵 A， i 乘 A 的各行元素；右乘， i 乘 A 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号 E i j ( , ) ，且 1 E i j E i j ( , ) ( , ) − = ，例如： 1 1 1 1 1 1 1 −         =             ； ④、倍乘某行或某列，符号 E i k ( ( )) ，且 1 1 E i k E i ( ( )) ( ( )) k − = ，例如： 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k −         =                ； ⑤、倍加某行或某列，符号 E ij k ( ( )) ,且 1 E ij k E ij k ( ( )) ( ( )) − = − ，如： 1 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k −     −     =              ； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、 0 ( ) min( , ) m n   r A m n  ； ②、 ( ) ( ) T r A r A = ； ③、若 A B ，则 r A r B ( ) ( ) = ； ④、若 P 、 Q 可逆，则 r A r PA r AQ r PAQ ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、 max( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( ) r A r B r A B r A r B   + ；（※） ⑥、 r A B r A r B ( ) ( ) ( ) +  + ；（※） ⑦、 r AB r A r B ( ) min( ( ), ( ))  ；（※） ⑧、如果 A 是 m n  矩阵， B 是 n s  矩阵，且 AB = 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX = 0 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 r A r B n ( ) ( ) +  ⑨、若 A、 B 均为 n 阶方阵，则 r AB r A r B n ( ) ( ) ( )  + − ； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）  行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如 1 0 1 0 0 1 a c b           的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 0 1 1 1 1 1 1 0 ( ) n n n n m n m m n n n n m m n m n n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b − − − − − = + = + + + + + + =  ； 注：Ⅰ、 ( )n a b + 展开后有 n+1 项； Ⅱ、 0 ( 1) ( 1) ! 1 1 2 3 !( )! − − + = = = = − m n n n n n n n m n C C C m m n m Ⅲ、组合的性质： 1 1 1 1 0 2 − − − + − = = = + = =  n m n m m m m r n r r n n n n n n n n r C C C C C C rC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩： * ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 ( ) 1 n r A n r A r A n r A n  =  = = −     − ；