第82讲重积分的计算法(2) 349 =210an-r=2[2n1-= 三、利用球面坐标计算三重积分 利用直角坐标与球面坐标关系:x= psingcos6,y= Psingsinp,z=pCo若积分区域D 可化为球坐标形式:1(9,0)≤p≤P2(,0),9(6)≤甲≤吗(0),≤6≤B,则三重积分r= ∫(x,y,z)d可化为球坐标的三次积分 R de singal f(psingcos8, psingsin8, pcos)pdp A(6) 般地说,若积分区域』是由球面与锥面围成时,使用球面坐标较方便 注意这里直角坐标与球面坐标关系没有用某些教材上的符号:x= rsingcos6,y= songsiN0,z= rcos主要为避免与柱面坐标中的r相混淆,并建议读者使用这种符号 例10计算下列三重积分: (1)I=‖(x+x)dv,其中D:x2+y2+x2≤1,z≥0. 2)I=‖(x+y+x)dv,其中:x2+y2+x2≤1,x≥0,y≥0,z≥0 解(1)积分区域a为半径为1的上半球体,由积分性质知 wAy 对积分1=Ⅲd因f(x,y,x)=x关于z是奇函数,关于y0面对称故=0 对积分12=‖zdv,f2(x,y,z)=z,关于x,关于y都是偶函数,又分别关于yOz面,2Ox面 为对称,故l2=4dv,其中为a在第一卦限部分,而a1的球面坐标表示式为:0≤P≤ 1,0≤9≤,0≤0≤5故 I=I1+I2=I2 4d0 2T singcosppl Pdp= x 2由积分性质+!+],定积分、二重积分其积分值只与积分区间 或积分区域和被积函数有关,而与积分变量用什么字母表示无关,三重积分也一样,积分值 也仅与积分区域D和被积函数有关,与积分变量用什么字母表示无关,故 U