江画工太猩院 三、存在定理 定理1(可积的必要条件)函数f(x)在区间 la,b上可积的必要条件是f(x)在,b上有界 证(用反证法若f(x)在a,b上无界,任意分割a,bl, 则必存在一个小区间[x1,x1使fx)在该小区间上 无界.因此对无论怎样大的正数M,总能找到 x1,x;,使|f(5);>M 从而可使|∑f(4;)Ax1任意大 故和式极限不存在,即f(x)在|a,b止上不可积.江西理工大学理学院 三、存在定理 定理1 （可积的必要条件） [ , ] ( ) [ , ] . ( ) 上可积的必要条件是 在 上有界 函数 在区间 a b f x a b f x 证 (用反证法)若f (x)在[a,b]上无界，任意分割[a,b], . [ , ], ( ) 1 无界 则必存在一个小区间 xi− xi 使f x 在该小区间上 x x f x M M i i i i i ∈[ − , ], | ( ) |> , , 1 ξ ∆ ξ 使 因此 对无论怎样大的正数 总能找到 | ( ) | . 1 从而可使 ∑ 任意大 = n i i i f ξ ∆x 故和式极限不存在，即 f ( x)在[a,b]上不可积