第4期 刘峰，等：佳点集的OMC粒子滤波算法及其应用 ·463. 主要取决于偏差，偏差用来度量点列在函数域上 1.0°、 的均匀分布程度，点列分布越均匀，偏差就越小， 收敛速度就越快，波动也相应地会减小，计算准 在 确度也随之提高。可以用Koksma-Hlawka不等式 给出拟蒙特卡洛方法的计算误差如式(5)所示。 ar-2 <V(f)·Dx(5) 前”消六 [0,1)d 图3400个二维佳点集 式中：V(f)为Hardy and Krause意义下f的有界变 Fig.3 400 two-dimensional good point set 差，D:为点列{X1,X2,…,X}的星偏差。随机数 序列的偏差期望值可限制在(log(logN)N~∽，而 GPS-QMCPF利用GPS-QMC方法的低偏差序 列生成均匀分布的样本，改善了样本聚焦和样本空 用佳点集序列代替随机序列可以提高精度，最小偏 隙的现象，使得GPS-QMCPF的精度明显优于PF: 差可达0((logW)-N-1)[1o] 并且通过图2、3，可以看出GPS-OMC方法的低偏差 GPS-QMC方法的收敛速度是O((log N/W)高于 序列比Halton序列更均匀，因为点列分布越均匀. MC方法的收敛速度O(1/√N),当维数S较大时， 偏差就越小，收敛速度也越快，因此GPS-QMCPF算 GPS-QMC方法要比MC方法的收敛速度O(1/√F) 法比标准的OMCPF算法的精度也要更好。 更快。并且GPS-QMC方法排除了MC方法的随机 2.3GPS-QMCPF的计算步骤 性，给出一致公布得“最均匀”的确定点列，因而得出 1)初始化。在初始时刻从重要性函数中采样N 的精确度是确定的，而不再是概率的。 个粒子{x0,i=1,2,…,N}作为初始样本，估计样 标准的拟蒙特卡洛粒子滤波算法一般采用Hal 本分布的初始支撑区间[α，B],然后利用佳点集 ton序列为初始采样序列。构造400个二维佳点集 方法在指定区间[0,1)生成低差异点集 和400个二维Halton点集，同时用随机方法在二维 {uj=1,2,…,),通过式(6)将其映射到初始 空间内取400个点，图1~3分别给出了它们的分布 支撑区间[a。,B】上，形成初始样本 效果。可以看出，佳点集的分布要比Halton序列和 {j=1,2,…,N},并求出p(x0)。 随机序列更均匀。而且只要取点个数一定，每次所 x=a+(B-a)· (6) 得的分布效果是一致的，由此可知佳点集稳定性较 2)估计x:的支撑区间[a,B],产生在区间 好。其次佳点集的构造与空间维数无关，能够很好 [0,1)4内的低差异性样本点集 地适应高维问题。 {d,j=1,2,…,N},利用式(6)将其映射到 [a4,B],形成在k时刻的样本粒子群 6w经g3。《:,7 {j=1,2,…,N},利用式(7)计算预测密度值 6e7 p(1t)G=1,2,…,N),n则 ！(n-）！ 1 1y p(1ak-i)三∑-P(xl1) (7) n好：gc 3)利用式(8)计算粒子的权值： w=w-p(241-1）= 图1400个二维随机点集 p(1)p(1-) Fig.1 400 two-dimensional random point set g() =-p(a|)(8) 。 4)将权重归一化： 八6 (9) 5)状态值估计： 4= ∑oixt (10) ..25.3.el....1.0 3 实验仿真 图2400个二维Halton点集 Fig.2 400 two-dimensional Halton sequence point set 为了验证文中GPS-QMCPF法的有效性，程序基主要取决于偏差袁偏差用来度量点列在函数域上 的均匀分布程度袁点列分布越均匀袁偏差就越小袁 收敛速度就越快袁波动也相应地会减小袁计算准 确度也随之提高遥 可以用 运燥噪泽皂葬鄄匀造葬憎噪葬 不等式 给出拟蒙特卡洛方法的计算误差如式渊缘冤所示遥 乙 咱园袁员冤 凿 枣渊载冤 凿载 原 员 晕移 晕 蚤 越 员 枣渊载蚤冤 约 灾渊枣冤窑阅鄢 晕 渊缘冤 式中院 灾渊枣冤 为 匀葬则凿赠 葬灶凿 运则葬怎泽藻 意义下 枣 的有界变 差袁 阅鄢 晕 为点列 喳载员 袁载圆 袁噎袁载晕札 的星偏差遥 随机数 序列的偏差期望值可限制在 渊造燥早渊造燥早晕冤 冤晕原员 辕 圆 袁而 用佳点集序列代替随机序列可以提高精度袁最小偏 差可达 韵渊渊造燥早晕冤泽原员 晕原员 冤 咱员园 暂 遥 郧孕杂鄄匝酝悦 方法的收敛速度是 韵渊造燥早凿晕辕晕冤 高于 酝悦 方法的收敛速度 韵渊员辕 晕冤 袁当维数 杂 较大时袁 郧孕杂鄄匝酝悦 方法要比 酝悦 方法的收敛速度 韵渊员辕 晕冤 更快遥 并且 郧孕杂鄄匝酝悦 方法排除了 酝悦 方法的随机 性袁给出一致公布得野最均匀冶的确定点列袁因而得出 的精确度是确定的袁而不再是概率的遥 标准的拟蒙特卡洛粒子滤波算法一般采用 匀葬造鄄 贼燥灶 序列为初始采样序列遥 构造 源园园 个二维佳点集 和 源园园 个二维 匀葬造贼燥灶 点集袁同时用随机方法在二维 空间内取 源园园 个点袁图 员耀猿 分别给出了它们的分布 效果遥 可以看出袁佳点集的分布要比 匀葬造贼燥灶 序列和 随机序列更均匀遥 而且只要取点个数一定袁每次所 得的分布效果是一致的袁由此可知佳点集稳定性较 好遥 其次佳点集的构造与空间维数无关袁能够很好 地适应高维问题遥 图 员摇 源园园 个二维随机点集 云蚤早援员摇 源园园 贼憎燥鄄凿蚤皂藻灶泽蚤燥灶葬造 则葬灶凿燥皂 责燥蚤灶贼 泽藻贼 图 圆摇 源园园 个二维 匀葬造贼燥灶 点集 云蚤早援圆摇 源园园 贼憎燥鄄凿蚤皂藻灶泽蚤燥灶葬造 匀葬造贼燥灶 泽藻择怎藻灶糟藻 责燥蚤灶贼 泽藻贼 图 猿摇 源园园 个二维佳点集 云蚤早援猿摇 源园园 贼憎燥鄄凿蚤皂藻灶泽蚤燥灶葬造 早燥燥凿 责燥蚤灶贼 泽藻贼 摇 摇 郧孕杂鄄匝酝悦孕云 利用 郧孕杂鄄匝酝悦 方法的低偏差序 列生成均匀分布的样本袁改善了样本聚焦和样本空 隙的现象袁使得 郧孕杂鄄匝酝悦孕云 的精度明显优于 孕云曰 并且通过图 圆尧猿袁可以看出 郧孕杂鄄匝酝悦 方法的低偏差 序列比 匀葬造贼燥灶 序列更均匀袁因为点列分布越均匀袁 偏差就越小袁收敛速度也越快袁因此 郧孕杂鄄匝酝悦孕云 算 法比标准的 匝酝悦孕云 算法的精度也要更好遥 圆援猿摇 郧孕杂鄄匝酝悦孕云 的计算步骤 员冤初始化遥 在初始时刻从重要性函数中采样 晕 个粒子 曾蚤   园院噪袁蚤 越 员袁圆袁噎袁晕 作为初始样本袁估计样 本分布的初始支撑区间 琢园 袁茁园   袁然后利用佳点集 方法在指定区间 咱园袁员冤凿 生成低差异点集 怎渊躁冤   袁躁 越 员袁圆袁噎袁晕 袁通过式渊远冤 将其映射到初始 支撑区间 琢园 袁茁园   上袁 形成初始样本 曾躁   园 袁躁 越 员袁圆袁噎袁晕 袁 并求出 责渊曾蚤 园 冤 遥 曾蚤 越 琢 垣 渊茁 原 琢冤窑怎蚤 渊远冤 摇 摇 圆冤 估计 曾噪 的支撑区间 琢噪袁茁噪   袁产生在区间 咱园袁员冤凿 内的低差异性样本点集 怎躁   袁躁 越 员袁圆袁噎袁晕 袁 利用式 渊远冤 将其映射到 琢噪袁茁噪   袁 形成在 噪 时刻的样本粒子群 曾躁   噪袁躁 越 员袁圆袁噎袁晕 袁利用式 渊苑冤 计算预测密度值 责渊曾躁 噪 渣 扎员院噪冤 渊躁 越 员袁圆袁噎袁晕冤 灶浴 则浴   灶 原 则 浴 院 责渊曾躁 噪 渣 扎员院噪原员 冤 艿 移 晕 躁 越 员 棕躁 噪原员 责渊曾噪 渣 曾躁 噪原员 冤 渊苑冤 摇 摇 猿冤利用式渊愿冤计算粒子的权值院 棕躁 噪 越 棕躁 噪原员 责渊扎噪 渣 曾躁 噪原员 冤 越 棕躁 噪原员 责渊扎噪 渣 曾躁 噪冤责渊曾躁 噪 渣 曾躁 噪原员 冤 择渊曾躁 噪 渣 曾躁 噪原员 袁扎噪冤 越 棕躁 噪原员 责渊扎噪 渣 曾躁 噪冤 渊愿冤 摇 摇 源冤将权重归一化院 棕蚤 噪 越 棕蚤 噪 辕移 晕 蚤 越 员 棕蚤 噪 渊怨冤 摇 摇 缘冤状态值估计院 曾 赞 噪 越 移 晕 蚤 越 员 棕蚤 噪 曾蚤 噪 渊员园冤 猿摇 实验仿真 为了验证文中 郧孕杂鄄匝酝悦孕云 法的有效性袁程序基 第 源 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 刘峰袁等院佳点集的 匝酝悦 粒子滤波算法及其应用 窑源远猿窑