820 系统工程理论与实践 第33卷 其中，KArM为平值时的Cap执行价值，Sa,g(O)为相应互换利率.a为初始时刻，B为到期日，由于Cap价 值为Caplet价值之和，根据公式(3)可以得到Cap的市场价格为： Cap(t)= >P(t,T:)BI(K,F(0),VTivT)=> Pt,TBK,0,V=i吹-1aa） (5) =1 2=1 4)Caplet波动率和Cap波动率之间的关系 虽然每个到期日Cap包含了数个Caplet,但在报价时每个Cap中所有的Caplet都共享同一个波动率 报价，即？.-cap,因此不同到期日的Cap有不同平均波动率.但从Caplet定价公式讲是不合理的，因为对不 同到期日Cap中所含相同利率参考日、交割日以及执行价值的Caplet,应该有不同Caplet波动率.所以公 式(5)Caplet市场价格可表示为以下公式： Cap(t)=>P(t,T)BI(K,F(0),VTivT)=>TP(t,T:)BI(K,Fi(0),VT-ivT) (6) i-l =1 因此，我们可利用(6)，根据(3)中Cap和Caplet的Black价格封闭解，在已知Cap市场报价情况下， 反推Caplet隐含波动率，进而利用(2)，推导各期远期利率瞬间波动率.此外，考虑到校正远期利率相关系数 较为复杂，并且单因子LIBOR市场模型已经能够很好地拟合未来LIBOR走势.为此假设远期利率瞬间相 关系数为零 3随机波动率LIBOR市场模型的MCMC参数估计 最近几年对于SV模型的估计，研究人员提出了许多可行的估计方法.其中，MCMC方法是一种完全模 拟方法，采用了动态的抽样方法，克服了传统Monte Carlo模拟的高维、静态的缺陷，提高了估算精度.基于 以上分析，本文在上述分段固定的局部波动率假设下，利用历史的每段时间下(3个月)的远期利率对数收益 率，通过MCMC方法来对当前时刻开始相对应的时间段内随机波动率过程的参数进行估计 3.1MCMC参数估计过程 马尔科夫链蒙特卡罗方法（此文后记为MCMC),即是在蒙特卡罗方法的框架下，加入马尔科夫过程，从 而计算马尔科夫链的蒙特卡罗积分抽样同，根据马尔科夫原理，在已知市场历史数据的情况下，运用模拟技 术，随着随机链的不断延伸，所得随机数必将收敛于一个平稳分布π(x),最终使得所求参数的分布与平稳分 布接近.在达到平稳的情况下，利用此分布求出相应的参数估计值即期望，同时其他参数也可以在此基础之 上求得.MCMC主要有两个主要的抽样方法，Gibbs方法和Metropolis-Hastlngs方法.两者的区别在于后 验分布是否可以直接确定，如果可以直接确定，那么我们就可以在共轭原理得到已知后验分布的情况下直接 利用Gibs方法进行抽样，而如果后验分布很难确定，则需要利用在构造转移核的基础上利用接受拒绝方法 实现抽样过程的Metropolis-Hast1ngs方法.本文在此主要利用Gibbs方法，基本过程如下： 1)确定初始点xo)=(c,0,…,0),设i=0 从条件分布（红9，，…，）中，抽取+；从条件分布2r件，，…，)中，抽取 21) 按上述步骤依次从条件分布π（红n女+），+”，，)中，抽取+： 3)设i=i+1,转到第2)步.记x国=（甲，，…，x9,则四，x2,…,x国是马尔科夫链的实现 值，其由x到x的转移概率为：p(x,x)=r(x12,x3,…,xn)π(x2lz,c3,…,xn)…π(xnz1,2,,n-1) 3.2 Heston随机波动率LIBOR市场模型的MCMC估计过程 我们在标准LBOR市场模型的基础之上加入随机波动率过程，并且利用历史相对区间上数据对该随机 波动率过程参数进行估计.根据公式(1)，设xt=l1og(F(),可得以下公式： Td4=v0a.u×立20E8a-ro0u+VWaz,+-12,e,k<it≤T k+,1+© dv(t)=k(v-V(t))d(t)+TvV(t)dz dzidz2 =0 (7) 万方数据820 系统工程理论与实践 第33卷 其中，KATM为平值时的Cap执行价值，＆，p(o)为相应互换利率．Q为初始时刻，p为到期日．由于Cap价 值为Caplet价值之和，根据公式(3)可以得到Cap的市场价格为： 几 n Cap(t)=∑TiP(t，Ti)BI(K，Fi(o)，讧五‰…，)=∑死P(t，互)Bf(K R(o)，以i‰一。㈨) (5) i=1 i=1 4)Caplet波动率和Cap波动率之间的关系 虽然每个到期日Cap包含了数个Caplet，但在报价时每个Cap中所有的Caplet都共享同一个波动率 报价，即％。…。，因此不同到期日的Cap有不同平均波动率．但从Caplet定价公式讲是不合理的，因为对不 同到期日Cap中所含相同利率参考日、交割日以及执行价值的Caplet，应该有不同Caplet波动率．所以公 式(5)Caplet市场价格可表示为以下公式： 礼 扎 Cap(t)=∑7tP(t，Tt)Bl(K，Fi(O)，以i‰…，)=∑死P(t，Ti)BI(K，R(o)，以5％一…Ⅲ) (6) t=1 i=l 因此，我们可利用(6)，根据(3)中Cap和Caplet的Black价格封闭解，在已知Cap市场报价情况下， 反推Caplet隐含波动率，进而利用(2)，推导各期远期利率瞬间波动率．此外，考虑到校正远期利率相关系数 较为复杂，并且单因子LIBOR市场模型已经能够很好地拟合未来LIBOR走势．为此假设远期利率瞬间相 关系数为零． 3随机波动率LIBOR市场模型的MCMC参数估计 最近几年对于SV模型的估计，研究人员提出了许多可行的估计方法．其中，MCMC方法是一种完全模 拟方法，采用了动态的抽样方法，克服了传统Monte Carlo模拟的高维、静态的缺陷，提高了估算精度．基于 以上分析，本文在上述分段固定的局部波动率假设下，利用历史的每段时间下(3个月)的远期利率对数收益 率，通过MCMC方法来对当前时刻开始相对应的时间段内随机波动率过程的参数进行估计． 3．1 MCMC参数估计过程 马尔科夫链蒙特卡罗方法(此文后记为MCMC)，即是在蒙特卡罗方法的框架下，加入马尔科夫过程，从 而计算马尔科夫链的蒙特卡罗积分抽样[5】．根据马尔科夫原理，在已知市场历史数据的情况下，运用模拟技 术，随着随机链的不断延伸，所得随机数必将收敛于一个平稳分布丌(。)，最终使得所求参数的分布与平稳分 布接近．在达到平稳的情况下，利用此分布求出相应的参数估计值即期望，同时其他参数也可以在此基础之 上求得．MCMC主要有两个主要的抽样方法，Gibbs方法和Metropolis—Hastlngs方法．两者的区别在于后 验分布是否可以直接确定，如果可以直接确定，那么我们就可以在共轭原理得到已知后验分布的情况下直接 利用Gibbs方法进行抽样，而如果后验分布很难确定，则需要利用在构造转移核的基础上利用接受拒绝方法 实现抽样过程的Metropolis—Hastlngs方法．本文在此主要利用Gibbs方法，基本过程如下： 1)确定初始点。(o)=(zP，z笋’，…，z鬻’)，设i=o； 2)从条件分布丌(z，Iz箩’，z￡’，…，。g’)中，抽取zrl)；从条件分布丌(z。Iz，+¨，。￡’，…，zg’)中，抽取 ，(冲1)． 山2 ， 按上述步骤依次从条件分布丌(z。瞄件¨，。￡“)，…，z齄：’)中，抽取zg“)； 3)设i=i+1，转到第2)步．记z(‘)=(z∽zg’，…，z￡’)，则z(¨，z(21，…，z(‘)是马尔科夫链的实现 值，其由z到z7的转移概率为：p(x，X7)=r(xllX2，53，…，Xn)-(x2lxl，X3，…，X。)…7r(z。Ixl，z：，…，z乞一1)． 3．2 Heston随机波动率LIBOR市场模型的MCMC估计过程 我们在标准LIBOR市场模型的基础之上加入随机波动率过程，并且利用历史相对区间上数据对该随机 波动率过程参数进行估计．根据公式(1)，设耽=log(Fi(￡))，可得以下公式： I d轨=y(矧t)×∑篝群等d￡一昙y(￡)盯㈤¨俑吼(t)(pdZl+V／i-p2dZ2(t))，七<印≤T J J=k+l‘’。7‘’、。7 “ 、 l dV(t)=K(∥一y(￡))d(￡)+Tx／V(t)dZ 一 【dzld历：o (7) 万方数据