五(1分).设∫(z)在|<R(R>1)解析,且∫(0)=1,计算积分 其中C是正向单位圆周.并利用积分证明 ∫(e) +f(0) 解根据柯西积分公式,有 2+(z+ ∫( 142(=+(2+1/1 2丌i 227(2)+(2+1)f(2) 2f(0)+f(0)=2+f(0) 又由复积分可得 d之 2+(z+2)f( (e+e)f(et)de 1 (1 +cos e)f(e)de 1 f(e )de 所以 cOS dO=2+f'(0)5 j (1 ). W f(z) ~ |z| < R(R > 1) 3k￾L f(0) = 1, ._- 1 2πi I C  2 +  z + 1 z  f(z) dz z , J C \
oh}
=u- D 2 π Z 2π 0 f(eiθ) cos2  θ 2  dθ = 2 + f ′ (0). %79l- &[￾w 1 2πi I C  2 +  z + 1 z  f(z) dz z = 1 2πi I C 2f(z) dz z + I C (z 2 + 1)f(z) dz z 2  = 1 2πi  2 · 2πi[f(z)]     z=0 + [(z 2 + 1)f(z)]′     z=0  = 2f(0) + f ′ (0) = 2 + f ′ (0). xv#- : 1 2πi I C  2 +  z + 1 z  f(z) dz z = 1 2πi Z 2π 0 2 + (eiθ + e−iθ)f(eiθ)dθ = 1 2πi Z 2π 0 (1 + cos θ)f(eiθ)dθ = 1 π Z 2π 0 2 cos2  θ 2  f(eiθ)dθ, `s 2 π Z 2π 0 f(eiθ) cos2  θ 2  dθ = 2 + f ′ (0).