在[0,1上是 Riemann可积的 31.当a>0为何值时,函数f(x) sIn x 在[,+∞)上是L可积的 32.设K为[0,1中的 Cantor集.当x∈K时定义f(x)=x2,当x属于[O,1]-K 中长为的开区间时定义f以)、1计算f(x)d 33.设∫和g在[a,b]上 Riemann可积,并且在[a,b]的一个稠密子集上相等.证 明∫和g在[a,b]上积分相等 34.设∫是R上的L可积函数,fO)=0,f(0)存在并且有限证明/(x) R上是L可积的 35.计算f(x)x,其中 若x为有理数 若x为无理数 36.设∫是[0,1]上的单调增加函数,E是[0,1中的L可测集并且m(E)=1.证 明f(x)xs」f(x)d 37.用 Lebesgue积分的性质证明 38.设f(x)=(-1)4n n1x≤-,n=1,2,…,f(0)=0.证明∫在[0,1 是广义 Riemann可积的,但不是 Lebesgue可积的 39.设a<c<b,F(x)=l+(x)又设∫是[a,b]上的有界实值函数证明在 [a,b]上关于FLS可积当且仅当∫在x=c连续.并且当∫在x=c连续时 f(x)dF(x)=f(c) 40.设∫在[a-h,b+是 Lebesgue可积的.证明 提示:利用定理4.5.2 41.设∫是R上的L可积函数,g是R上的有界L可测函数证明函数 I(0=L f(x+og(xdx, tE R137 在[0, 1]上是 Riemann 可积的. 31. 当α > 0 为何值时, 函数 α x x f x sin ( ) = 在[1, + ∞) 上是 L 可积的. 32. 设 K 为[0, 1]中的 Cantor 集. 当 x ∈ K 时定义 ( ) , 2 f x = x 当 x 属于[0, 1] − K 中长为 n 3 1 的开区间时定义 . 2 1 ( ) n f x = 计算 ( ) . 1 ∫0 f x dx 33. 设 f 和 g 在[a,b]上 Riemann 可积, 并且在[a,b]的一个稠密子集上相等. 证 明 f 和 g 在[a,b]上积分相等. 34. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, f (0) = 0, f ′(0)存在并且有限. 证明 x f (x) 在 1 R 上是 L 可积的. 35. 计算 ( ) , 1 0 f x dx ∫ 其中      = . , 1 ( ) 3 若 为无理数 若 为有理数 x x x x f x 36. 设 f 是[0, 1]上的单调增加函数, E 是[0, 1]中的 L 可测集并且 m(E) = t. 证 明 ( ) ( ) . ∫0 ∫ ≤ E t f x dx f x dx 37. 用 Lebesgue 积分的性质证明 ∫ ∑ ∞ = − = − 1 0 1 2 . (2 1) 1 ( 1) arctg n n n dx x x 38. 设 ( ) ( 1) , 1 f x n n+ = − , 1, 2, , 1 1 1 < ≤ = L + n n x n f (0) = 0. 证明 f 在[0, 1] 上是广义 Riemann 可积的, 但不是 Lebesgue 可积的. 39. 设 a < c < b, ( ) ( ). [ , ) F x I x = c +∞ 又设 f 是[a,b]上的有界实值函数. 证明在 [a,b] 上关于 F L-S 可积当且仅当 f 在 x = c 连续. 并且当 f 在 x = c 连续时, ∫ = b a f (x)dF(x) f (c). 40. 设 f 在[a − h, b + h] 是 Lebesgue 可积的. 证明 lim ( ) ( ) 0. 0 + − = → ∫ b t a f x t f x dx 提示:利用定理 4.5.2. 41. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, g 是 1 R 上的有界 L 可测函数. 证明函数 ( ) ( ) ( ) , ∫ 1 = + R I t f x t g x dx t ∈ . 1 R