由于W≤V,规则1)、2)、5)、6)、7)、8) 是显然成立的.下证3)、4)成立 ∵W≠,∴彐α∈W.且对α∈W由数乘运算 封闭,有-c=(-1)a∈W,即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素,4)成立 由加法封闭,有0=a+(-a)∈W,即W中的零元 就是V中的零元,3)成立 推论:V为数域P上的线性空间,VW≠),则 W是V的子空间分→Va,B∈W,Va,b∈P,aa+bB∈W4 ∵ W   ，∴   W . 且对    W ，由数乘运算 封闭，有 − = −    ( 1) W ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于 W V  ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．      +      , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W    ( ), 则 由加法封闭，有 0 ( ) = + −    W ,即W中的零元 W是V的子空间