等等】 (2)作辅助函数F(x),使F'()等于上述等式的左端.对于(1)中所述等式，分别对 应辅助函数F(x)为 F(x)=x(x), F(x)=f(x)g(x), F(x)=I) F(ax)=) F)=四 F(x)=f(x)g(x)-f(x)g'(x), g(x) Fx)=e“fx), F(x)=esf(x) (3)在指定区间上对F(x)应用罗尔定理证明. 例4设44“，4为满是风+受+号+.+号=0的实数，证明：方程 4+4x+4+a,r++ax=0在(0，l)内至少有一个实根. 分析函数x)=a+ax+a2+ar2++a虽然在0，则上连续，但是难以验证 fx)在0，】的某个子区间的端点处的函数值是否异号，所以不能用闭区间上连续函数的零 点定理，但发现函数F)=a+号+导++品”在x=1处的值为 且F(O)=0,所以该命题可以用罗尔定理来证. 证明作箱助函数F=a+受+号++，显然F)在@，上连铁， 在@，内可导且F0=0,F0=a+兰+号++品=0.对F在区间Q上应用罗 尔定理，则至少存在一点50，)，使得F()=0,即 4+a5+a252+a53++a5"=0, 即方程a+ax+a,r2+a,2++a,x=0在(0,1)内至少有一个实根5.证毕 注关于∫x)=0的根（或f(x)的零点）的存在性的两种常用证明方法 证法1如果只知x)在[a,或(a,)上连续，而没有说明fx)是否可导，则一般用闭 区间上连续函数的零点定理证明： 证法2先根据题目结论构造辅助函数F(x),使得F(x)=fx),然后在指定区间上验 证F(x)满足罗尔定理的条件，从而得出fx)的零点存在性的证明. 例5若fx)在[-1，上有二阶导数，且fO)=f0)=0,设F(x)=fx),则在(0，)内 至少存在一点，使得F'(⑤)=0， 分析要证F()=0,只要证在F(x)区间0，】上满足罗尔定理，关键是找到两个使 F'(x)相等的点。此外，该题还可以用泰勒公式证明. 证法1（用罗尔定理证）因为Fx)=xfx),则F(x)=2x)+x2fx)等等． （2）作辅助函数 F x( ) ，使 F( )  等于上述等式的左端．对于（1）中所述等式，分别对 应辅助函数 F x( ) 为 F x xf x ( ) ( ) = ， F x f x g x ( ) ( ) ( ) = ， ( ) ( ) f x x F x = ， ( ) ( ) k f x F x x = ， ( ) ( ) ( ) f x F x g x = ， F x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = −   ， ( ) ( ) x F x e f x  = ， ( ) ( ) ( ) g x F x e f x  = ． （3）在指定区间上对 F x( ) 应用罗尔定理证明． 例 4 设 0 1 , , , n a a a 为满足 1 2 0 0 2 3 1 n a a a a n + + + + = + 的实数，证明：方程 2 3 0 1 2 3 0 n n a a x a x a x a x + + + + + = 在 (0,1) 内至少有一个实根． 分析 函数 2 3 0 1 2 3 ( ) n n f x a a x a x a x a x = + + + + + 虽然在 [0,1] 上连续，但是难以验证 f x( ) 在 [0,1] 的某个子区间的端点处的函数值是否异号，所以不能用闭区间上连续函数的零 点定理，但发现函数 1 2 3 1 3 0 ( ) 2 3 1 a a an n F x a x x x x n + = + + + + + 在 x = 1 处的值为 1 2 0 (1) 0 2 3 1 n a a a F a n = + + + + = + ， 且 F(0) 0 = ，所以该命题可以用罗尔定理来证． 证明 作辅助函数 1 2 2 3 1 0 ( ) 2 3 1 a a an n F x a x x x x n + = + + + + + ，显然 F x( ) 在 [0,1] 上连续， 在 (0,1) 内可导且 F(0) 0 = ， 1 2 0 (1) 0 2 3 1 n a a a F a n = + + + + = + ．对 F x( ) 在区间 [0,1] 上应用罗 尔定理，则至少存在一点  (0,1) ，使得 F( ) 0  = ，即 2 3 0 1 2 3 0 n n a a a a a + + + + + =     ， 即方程 2 3 0 1 2 3 0 n n a a x a x a x a x + + + + + = 在 (0,1) 内至少有一个实根  ．证毕． 注 关于 f x( ) 0 = 的根（或 f x( ) 的零点）的存在性的两种常用证明方法 证法 1 如果只知 f x( ) 在 [ , ] a b 或 ( , ) a b 上连续，而没有说明 f x( ) 是否可导，则一般用闭 区间上连续函数的零点定理证明； 证法 2 先根据题目结论构造辅助函数 F x( ) ，使得 F x f x ( ) ( ) = ，然后在指定区间上验 证 F x( ) 满足罗尔定理的条件，从而得出 f x( ) 的零点存在性的证明． 例 5 若 f x( ) 在 [ 1,1] − 上有二阶导数，且 f f (0) (1) 0 = = ，设 2 F x x f x ( ) ( ) = ，则在 (0,1) 内 至少存在一点  ，使得 F( ) 0  = ． 分析 要证 F( ) 0  = ，只要证在 F x ( ) 区间 [0,1] 上满足罗尔定理，关键是找到两个使 F x ( ) 相等的点．此外，该题还可以用泰勒公式证明． 证法 1 （用罗尔定理证）因为 2 F x x f x ( ) ( ) = ，则 2 F x xf x x f x   ( ) 2 ( ) ( ) = + ．