三、典型例题解析 例1验证函数fx)=?1-x)在[0，上满足罗尔定理的条件。 解因fx)是在0，]上有定义的初等函数，所以fx)在0，上连续，且 m站 在(0，)内存在：0)=f0=0.故fx)在0，上满足罗尔定理的条件，由定理知至少存在 一点5∈0，)使f0=0.即1-22=0，于是解得5=万e0,)· 例2已知函数f八x)在0，】上连续，在(0,1)内可导，且f0=0,求证在(0，)内至少存 在一点：使等式⑤)=-但成立. 分析要证f传)=-但成立，即证5∫+白=0，即[=0，作辅助函数 F(x)=x),对F(x)在区间O,]上应用罗尔定理. 证明设F(x)=x(x),则它在0，刂上连续，在(0，I)内可导，且F(O)=F0)=0,由罗 尔定理知至少存在一点5∈0)使得F(5)=0,即了⑤=-但.证毕 例3设f(x)在[a,b】上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,证明对于任意实数2， 在(a,b)内至少存在一点5，使得f'(5)=-f(5). 分析要证f(⑤+⑤)=0，即证ef⑤)+f5)=0,即 [e“f'(x)+fxl=0, 即证[e“f(x)l=0,作辅助函数F(w)=e“fx),并对F(x)在区间[a,b上应用罗尔定理. 证明令F(x)=e“fx),易知F(x)在[a,b上连续，在(a,b)内可导，且 F(a)=Fb)=0, 由罗尔定理知，至少存在一点5∈(a,b),使F(5)=0,即e[f()+1f=0,而e“≠0， 故f()+5)=0,即f(5)=-f(5),5∈(a,b).证毕. 注证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给出函数关 系式的命题时，用罗尔定理证明的方法和步骤： (1)把要证的中值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有 f5+5f5)=0, f'(50g(5)+f5)g'(9=0, 5∫(5)-f5)=0, 5f'(5)-(5)=0, f(5g(9-f5)g'()=0 (50g(5)-f(50g(9=0, (5)±(5)=0， f(5)±f(5)g'(5)=0 三、典型例题解析 例 1 验证函数 3 2 2 f x x x ( ) (1 ) = − 在 [0,1] 上满足罗尔定理的条件． 解 因 f x( ) 是在 [0,1] 上有定义的初等函数，所以 f x( ) 在 [0,1] 上连续，且 2 1 2 3 3 2 2 1 2 ( ) 3 (1 ) x f x x x −  =  − 在 (0,1) 内存在； f f (0) (1) 0 = = ．故 f x( ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理的条件，由定理知至少存在 一点  (0,1) 使 f ( ) 0  = ．即 2 1 2 0 − =  ，于是解得 1 2  = (0,1) ． 例 2 已知函数 f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) 0 = ，求证在 (0,1) 内至少存 在一点  使等式 ( ) ( ) f f     = − 成立． 分析 要证 ( ) ( ) f f     = − 成立，即证    f f ( ) ( ) 0 + = ，即 [ ( )] 0 x xf x =  = ，作辅助函数 F x xf x ( ) ( ) = ，对 F x( ) 在区间 [0,1] 上应用罗尔定理． 证明 设 F x xf x ( ) ( ) = ，则它在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 F F (0) (1) 0 = = ．由罗 尔定理知至少存在一点  (0,1) 使得 F( ) 0  = ，即 ( ) ( ) f f     = − ．证毕． 例 3 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内可导，且 f a f b ( ) ( ) 0 = = ，证明对于任意实数  ， 在 ( , ) a b 内至少存在一点  ，使得 f f ( ) ( )    = − ． 分析 要证 f f ( ) ( ) 0    + = ，即证 e f f [ ( ) ( )] 0      + = ，即 [ ( ( ) ( ))]| 0 x x e f x f x   =  + = ， 即证 [ ( )] | 0 x x e f x  =  = ，作辅助函数 ( ) ( ) x F x e f x  = ，并对 F x( ) 在区间 [ , ] a b 上应用罗尔定理． 证明 令 ( ) ( ) x F x e f x  = ，易知 F x( ) 在 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内可导，且 F a F b ( ) ( ) 0 = = ， 由罗尔定理知，至少存在一点  ( , ) a b ，使 F( ) 0  = ，即 e f f [ ( ) ( )] 0      + = ，而 e 0   ， 故 f f ( ) ( ) 0    + = ，即 f f ( ) ( )    = − ， ( , ) a b ．证毕． 注 证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给出函数关 系式的命题时，用罗尔定理证明的方法和步骤： （1）把要证的中值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有 f f ( ) ( ) 0    + =  ， f g f g   ( ) ( ) ( ) ( ) 0     + = ，    f f ( ) ( ) 0 − = ，    f kf ( ) ( ) 0 − = ， f g f g   ( ) ( ) ( ) ( ) 0     − = ， f g f g   ( ) ( ) ( ) ( ) 0     − = ， f f ( ) ( ) 0     = ， f f g   ( ) ( ) ( ) 0     =