证明必要性:若n,n,…,刀n是标准正交基,则(7,71)=…而U的第j个列向量为 7在E1,E2…,En下的坐标,故 (,)=41241+…+n4= 这表示U"U=E→UU=E,U为酉矩阵 充分性:若U为酉矩阵,则 (n,n1)=41241+…+ u uI=1 7,n2…,mn是标准正交基 设M是n维酉空间V的一个子空间,定义 M={e对一切B∈M(a,B)=0 称M为M的正交补.显然M也是V的子空间 命题设W是n维酉空间V的子空间,则V=W⊕W; 证明同欧氏空间 推论n维酉空间V中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为V的标准正交基 设V1,V2是两个西空间,如果存在V到V2的一个映射σ,满足 (1)a是V到V2的线性空间的同构映射 (2)σ保持内积关系 则称是酉空间V到西空间V2的同构映射,称V与V同构 酉空间V上的线性变换U如果满足uUa,Uβ)=(a,B)(对一切a,B∈V),则称U是一个 酉变换(正交变换在酉空间上的推广) 酉变换的四个等价表述 命题U是n维酉空间V上的线性变换,则下列命题等价 1)U是一个酉变换 2)Va∈V,有|a|=|a|; 3)U把标准正交基变为标准正交基 4)U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵 证明1)→2).显然 2)→3)设E1,E2,…,En是标准正交基,由假设知只用证(UE1UE1)=0(i≠j证明 必要性:若 1，2，，n 是标准正交基,则( i j  , )=  ij .而 U 的第 j 个列向量为  j 在 1 2 n  ， ，， 下的坐标,故 ( i j  , )= u1iu1 j ++ uniunj = ij 这表示 UU = E  UU = E ,U 为酉矩阵. 充分性:若 U 为酉矩阵,则 ( i j  , )= u1iu1 j ++ uniunj = ij 1，2，，n 是标准正交基. 设 M 是 n 维酉空间 V 的一个子空间,定义 =   |  ( , ) = 0 ⊥ M  V 对一切 M有   称 ⊥ M 为 M 的正交补.显然 ⊥ M 也是 V 的子空间. 命题 设 W 是 n 维酉空间 V 的子空间，则 ⊥ V =W  W ； 证明 同欧氏空间. 推论 n 维酉空间 V 中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为 V 的标准正交基. 设 1 2 V ,V 是两个酉空间,如果存在 V1到V2 的一个映射  ,满足 (1)  是 V1到V2 的线性空间的同构映射 (2)  保持内积关系. 则称  是酉空间 V1到酉空间V2 的同构映射,称 V1与V2 同构. 酉空间 V 上的线性变换 U 如果满足(U  ,U  )=( ,  )(对一切 ,   V),则称 U 是一个 酉变换（正交变换在酉空间上的推广）. 酉变换的四个等价表述: 命题 U 是 n 维酉空间 V 上的线性变换,则下列命题等价 1) U 是一个酉变换; 2)    V,有|U  |=|  |; 3) U 把标准正交基变为标准正交基; 4) U 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 证明 1)  2).显然. 2)  3) 设 1 2 n  ， ，， 是标准正交基, 由假设知 只用证(U i  U j  )=0 (i  j