第三章微分中值定理与导数的应用 习题3-1微分中值定理 3、对函数f()=si血x及F(x)=x+cosx在区间[0，习上验证柯西中值定理 的正确性。 解：由于f)=nx及F()=x+cosx在区间0，牙上连线，在(0,7可导 ,且F()=1-sinx≠0，xe0,所以由柯西中值定理知至少存在一点 5∈0，使得 0温立◆8孕@ 即 (5-FO)F'⑤ F()F(-F0) 1-sinx一2，即six= cosx 2 8 8 -2护+4l.易证0<a-2+41<1,所以 snx=红-2+41在0，孕内有解，即确实存在5∈0，孕.使得 f爱)-f0且 F(3)-FO)F'⑤ 4、试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点：总是 位于区间的正中间， 证明：因为函数y=px+qx+r在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，由 拉格朗日中值定理，至少5∈(a,b),使得y(b)-y(a)=y'(5)b-a),即 (pb+gb+r)-(pd2+qa+r）=(2p5+gb-a).即得： D(b-aXb+a)=2pf(b-a).=a+b. 2 8、若函数fx)在(a,b)内具有二阶导数，且fs)=f(x)=f(x),其中 a<x<x2<书<b,证明：在(：，x)内至少有一点，使得∫"(5)=0. 证明：由于fx)在[x,x]上连续，在(x,x)内可导，且f(x)=f(x),根据罗 尔定理，至少35∈(：，x,使f(5)=0.同理52∈(：，x),使f(5)=0.又由于