例1验证方程x+y2-1=0在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当x=0时,y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值 解设F(x,y) F=2 则 (0)=0,B(,1)=2≠ 此由定理1可知,方程x2+y-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当x=0时,y=1的隐函数y=f(x) 下面求这函数的一阶和二阶导数 中yF2xx X 隐函数存在定理还可以推广到多元函数既然一个二元方程()可以确定一个一元隐函 数,那末一个三元方程 F(x,y,2)=0 就有可能确定一个二元隐函数。 与定理1一样,我们同样可以由三元函数F(x,y,2)的性质来断定由方程F(x,y,2 =0所确定的二元函数z=(xy)的存在,以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 隐函数存在定理2设函数F(x,y,2)在点P(x,y0,20)的某一邻域内具有连续的偏导 数,且(x0,y020)=0,2(x0,y0,20)≠0,则方程P(x,y,z)=0在点()0,z0)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=(x,y),它满足条 件20=f(x0,y0),并有 F az a= Fr @= F (4) 这个定理我们不证与定理1类似,仅就公式(4)作如下推导 由于 F(x,y, f(x,))=0 将上式两端分别对x和y求导,应用复合函数求导法则得 Fx+Fr x=o. F,+F a 因为连续,且F2(x0)y0,20)≠0,所以存在点(x,y0,20)的一个邻域,在这个邻域内 F≠0,于是得 az Faz ak= Fs. a= F 2 例2设x2+y2+22-4z=0,求O 解设F(x,y,2)=x2+y2+2-4z,则F=2x,F1=2z-4应用公式(4,得例1 验证方程 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当 =0时， 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 =0的值。 解 设 ，则 , .因 此由定理1可知，方程 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当 =0时， 的隐函数 。 下面求这函数的一阶和二阶导数 = ， ; = 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函 数，那末一个三元方程 ( )=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。 与定理1一样，我们同样可以由三元函数 ( )的性质来断定由方程 ( )=0所确定的二元函数 = 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 隐函数存在定理2 设函数 ( )在点 的某一邻域内具有连续的偏导 数，且 ， ，则方程 ( )=0在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条 件 ，并有 = , = . (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 ( , )≡0, 将上式两端分别对 和 求导，应用复合函数求导法则得 + =0, + =0。 因为 连续，且 ,所以存在点 的一个邻域，在这个邻域内 ≠0，于是得 = , = 。 例2 设 ，求 解 设 ( ) = ，则 =2 , = .应用公式(4)，得