ELX- Np- D(X) p2(1-p) p2(1-p) Np(1-P) 又 e(p)=ECX E(X=E(X) N P D(P)=DX=E(X) D(X) Np(1-p)_p(1-p) 所以 e(p) D(P) 即p=X是p的有效估计量 例619若总体X的E(X)和D(X)存在则样本均值X是总体均值E(X)的相 合估计 解E(X)=E(X) lim D(x)=lim D(X2=0 一般地样本的k阶原点矩A=∑X是总体X的k阶原点矩E(X)的相 合估计由此可见,矩估计往往是相合估计 例620设总体X的二阶矩存在,(X1,X2…xn)总体X的样本,n=1,2,…试证 2 n(n+D)i= 是总体均值的相合估计 证明E(n)=E( iX) n(n+1) ∑iE(X)= n(n+1) m(n+12 2 n(n+1) n+1)= − − = − 2 2 2 2 2 (1 ) ( ) [ ] (1 ) 1 p p D X E X Np p p (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 p p N p p Np p − = − − 又 p N Np E X N E X N X N E p = E = = ( ) = = 1 ( ) 1 ) 1 ( ˆ) ( = = = = = n D X N E X N E X N X N D p D 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ) 1 ( ˆ) ( 2 2 2 Nn p p N n Np(1 p) (1 ) 2 − = − 所以 1 ( ˆ) [ ( )] 1 ( ˆ) = = D p nI p e p 即 pˆ = N 1 X 是 p 的有效估计量 例 6.19 若总体 X 的 E(X ) 和 D(X ) 存在,则样本均值 X 是总体均值 的相 合估计. E(X ) 解 E(X ) = E(X ) 0 ( ) lim ( ) = lim = →∞ →∞ n D X D X n n 一般地,样本的k 阶原点矩 ∑= = n i k k Xi n A 1 1 是总体 X 的 阶原点矩 的相 合估计.由此可见, 矩估计往往是相合估计. k ( ) k E X 例 6.20 设总体 X 的二阶矩存在, (X1 , X 2 ,"X n ) 总体 X 的样本, n = 1,2,",试证 ∑ + = = n i n i iX n n 1 ( 1) 2 µˆ 是总体均值µ 的相合估计. 证明 = + = + = ∑ ∑ = = ( ) ( 1) 2 ) ( 1) 2 ( ˆ ) ( 1 1 n i i n i n i iE X n n iX n n E µ E µ µ = µ + ⋅ + = + ∑= 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 1 n n n n i n n n i 9