In p(x, u,0) (x-1)2 根据式(69) I(2)=-E 031np(x,42)= O 2020 又由例612知S”是δ2的无偏估计,并且由定理58 (n-1)S x(n-1) 再由x2分布的性质1知 ]=2(n-1) 因此 DS= 所以 es)= m →1(n→>∞) 即S"是a2的渐进有效估计量由于e(Sn)≠1,S不是a2的有效估计量但 是可以证明S”是σ2的最小方差无偏估计 例68设总体X~B(N,p),(X1,X2,…Xn)为总体X的一个样本,试证 p=X是p的有效估计量 证明总体X的分布律为 PX=x)=CNP(1-p)=P(x, p) In P(: p)=InCN+xIn p+(N-x)In(1-p) 所以 I(p)=In Pl dIn P(X, P)1=Et X N-X P4 2 2 2 2 1 ln ( ; , ) ( ) σ µ σ σ = − ∂ ∂ p x - 6 2 ( ) σ x − µ 根据式(6.9) = ∂ ∂ = − ln ( ; , )] ( ) ( ) [ 2 2 2 2 2 µ σ σ I σ E p X 6 2 ( ) σ E X − µ - 4 2 1 σ = 4 2 1 σ 又由例 6.12 知 是 的无偏估计,并且由定理 5.8 2 * Sn 2 δ ~ ( 1) ( 1) 2 2 *2 − − n n Sn χ σ 再由 χ2 分布的性质 1 知 ] 2( 1) ( 1) [ 2 *2 = − − n n S D n σ 因此 1 2 ( ) 4 *2 − = n D Sn σ 所以 1 1 ( 1) 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) 4 4 * 2 * 2 2 → − = − = = n n n n D S nI e S n n σ σ σ (n → ∞) 即 是 的渐进有效估计量.由于 2 * Sn 2 σ ( ) 2 * Sn e ≠ 1, 不是 的有效估计量,但 是可以证明 是 的最小方差无偏估计. 2 * Sn 2 σ 2 * Sn 2 σ 例 6.18 设总体 X ~ B(N, p) , ) (X1 , X 2 ,"X n 为总体 X 的一个样本,试证 X N p 1 ˆ = 是 p 的有效估计量. 证明 总体 X 的分布律为 P{X x} C p (1 p) P(x; p) def x x N x = = N − = − ln P(x; p) lnC x ln p (N x)ln(1 p) x = N + + − − 所以 = − − = = − 2 2 ] 1 ] [ ln ( ) ( ) ln [ p N X p X E dp d P X p I p P j 8