D(x)=E(x2)-(EX)2=202-62=6 D(X)=-D(x) 而 In P(x, 0)=-Ine 1(0)=E(Inp(r; 0) 1 X ELX-O=D(X) 所以 D(X)= n(6)n 即X的方差达到罗克拉美下界所以,X是θ的最小方差无偏估计 例617设(X1,X2…Xn)是来自正态总体N(2)的一个样本证明x是的 有效估计量;S”是σ2的渐进有效估计量 证明总体X的分布密度为 p(x,,a2)= 2丌 lr (x-) 2σ 所以 /(4)=E[ d In p(x; u, E(X-)2=-D(X) D(X=-D(X 故有e(X) l/[nl(4) 即X是的有效估计由于 -In p(x,u,o 2) (x-) 2=2 - = 2 2 D(X ) = E(X ) − (EX ) 2 θ 2 θ 2 θ 故 n D X n D X 2 ( ) 1 ( ) θ = = 而 θ θ θ x p x ln ( j ) = −ln − = − + = ∂ ∂ = 2 2 2 ] 1 ) [ ln ( ; ) ( ) ( θ θ θ θ θ X E p X I E 4 2 2 4 1 ( ) 1 [ ] 1 θ θ θ θ E X − = D X = 所以 nI n D X 2 ( ) 1 ( ) θ θ = = 即 X 的方差达到罗-克拉美下界,所以, X 是θ 的最小方差无偏估计. 例 6.17 设(X1 , X 2 ,"X n ) 是来自正态总体 N(µ,σ2 ) 的一个样本,证明 X 是µ 的 有效估计量； 是 的渐进有效估计量. 2 * Sn 2 σ 证明 总体 X 的分布密度为 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ; , ) σ µ πσ µ σ − − = x p x e 2 2 2 2 2 ( ) ln 2 1 ln ( ; , ) ln 2 σ µ µ σ π σ − = − − − x p x 所以 = − = = 2 2 2 2 ] [ ] ln ( ; , ) ( ) [ σ µ µ µ σ µ X E d d p X I E 4 2 2 4 1 ( ) 1 ( ) 1 σ σ µ σ E X − = D X = 而 1 2 ( ) 1 ( ) σ n D X n D X = = 故有 n n D X nI e X 2 2 ( ) 1/[ ( )] ( ) σ σ µ = = 即 X 是µ 的有效估计.由于 2 2 2 2 1 ln ( ; , ) σ µ σ σ = − ∂ ∂ p x + 4 2 2 ( ) σ x − µ 7