显然当n≥2时 D(1)=> =D(62) 3nn(n+2) 即2比1有效 例615设(X1,X2,…Xn)是来自泊松分布P(4)(4>0)的一个样本试证x是 的最小方差无偏估计 证明X的分布律为 Pi p(x,元 E(X)=E(X)= D(X) In p(x; 1)=xIn - x 因此 1(4)=E[mp(xA) X E X-对=2D(X==元 故有 D(X) 即x的方差达到了罗克拉美下界所以,F是A的最小方差无偏估计 例6.16总体X的分布密度为 p(x:)= x>0 0x<0 0>0为未知参数,(X1,X2,…Xn)为总体X的样本证明b=X是O的最小方差无 偏估计. 证明 E(X)=xp(x, 0Xx E(X)'=Cxp(x, xr=hbe'dx=202显然当n ≥ 2 时 ) ˆ ( 3 ( 2) ) ˆ ( 2 2 2 1 θ θ θ θ D n n n D = + = > 即 比 有效. 2 ˆθ 1 ˆθ 例 6.15 设(X1 , X 2 ,"X n )是来自泊松分布 P(λ) (λ >0)的一个样本,试证 X 是λ 的最小方差无偏估计. 证明 X 的分布律为 ( ; ) ! { } λ λ λ e p x x P X x x def = = = − E(X ) = E(X ) = λ n D X n D X λ = ( ) = 1 ( ) ln p(x;λ) = x ln λ − λ − ln x! 因此 2 2 ] [ 1] ln ( ; ) ( ) [ = − ∂ ∂ = λ λ λ λ X E p x I E = 2 2 2 2 ( ) 1 [ ] 1 λ λ λ λ λ E X − = D X = = λ 1 故有 nI n D X λ λ = = ( ) 1 ( ) 即 X 的方差达到了罗-克拉美下界,所以, X 是λ 的最小方差无偏估计. 例 6.16 总体 X 的分布密度为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0 0 0 1 ( ; ) x e x p x x θ θ θ θ >0 为未知参数, (X1 , X 2 ,"X n )为总体 X 的样本,证明θ =ˆ X 是θ 的最小方差无 偏估计. 证明 E X xp x j dx = ∫ +∞ −∞ ( ) = ( θ ) e dx x x θ θ +∞ − ∫0 =θ E X x p x j dx = ∫ +∞ −∞ ( ) = ( ) 2 2 θ e dx x x θ θ +∞ − ∫0 2 =2 2 θ 6