6≠6 所以θ是θ的有偏估计量,但是 imE(61)=lm-,b=6 n 即是的渐进无偏估计 虽然θ是θ的有偏估计量,但只要修正为 那么θ2也是θ的无偏估计量 由此可知,一个未知参数可能有不止一个无偏估计量其实,由O1和O2还可以 构造出无穷多个无偏估计量,例如,设a1和a2为满足a1+a2=1的任意常数,则 aB1+a2O2+都是无偏估计量 例64设总体X服从区间00]上的均匀分布(X1,X2,…Xn)是总体X的一个样 本由例6.13知矩估计1=2X和修正的最大似然估计2=-,X(m)均为b的无 n+1 偏估计,6和O2哪个更有效? 解D6)=D(2X)=4D(X)=AD(X)402 D(62)=D(X() (n+1) D(X (n E(X(n)-(E(X(m)2 由例613知 (X(n) 于是,得 D(2)= 6 2(m+1) n(n+2)θ θ θ θ ≠ + = = ∫0 n 1 n x dx n n n 所以θ ˆ L 是θ 的有偏估计量,但是 θ θ = θ + = →∞ →∞ 1 lim ( ˆ ) lim n n E n L n 即θ ˆ L 是θ 的渐进无偏估计. 虽然θ ˆ L 是θ 的有偏估计量,但只要修正为 2 ( ) 1 ˆ 1 ˆ L X n n n n n + = + θ = θ 那么θ ˆ 2 也是θ 的无偏估计量. 由此可知,一个未知参数可能有不止一个无偏估计量.其实,由 和 还可以 构造出无穷多个无偏估计量, 例如, 设 1 ˆθ 2 ˆθ α1和α 2为满足 1 α1 +α 2 = 的任意常数,则 +都是无偏估计量. 1 1 2 2 ˆ ˆ α θ +α θ 例 6.14 设总体 X 服从区间[0,θ ]上的均匀分布(X1 , X 2 ,"X n ) 是总体 X 的一个样 本.由例 6.13 知,矩估计θ ˆ 1 = 2X 和修正的最大似然估计 2 ( ) 1 ˆ X n n n + θ = 均为θ 的无 偏估计,θ ˆ 1和θ ˆ 2 哪个更有效？ 解 n n n D X D D X D X 12 3 ( ) 4 ) (2 ) 4 ( ) 4 ˆ ( 2 2 1 θ θ θ = = = = = = + = + = ( ) ( 1) ) 1 ) ( ˆ ( 2 ( ) 2 2 (n) D X n n n X n n D θ D [ ( ) ( ( )) ] ( 1) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 E X n E X n n n − + 由例 6.13 知 θ 1 ( ) ( ) + = n n E X n 而 2 0 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) θ θ θ + = = = ∫ ∫ + +∞ −∞ n n x dx n E X xp x dx n n X n n 于是,得 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 1 ] 2 ( 1) [ ( 1) ) ˆ (θ θ θ θ + = + − + + = n n n n n n n n D 5