0≤ P{问 -6≥E}≤ (e-B) 1En-E{)+E,)- l)+()-l) 令n→∞且有定理的假设,得 lim 0 即b是b的相合估计。 例6,2设总体X的一阶和二阶矩存在分布是任意的记E(X)=,D(X)=a2, 则样本均值X是μ的无偏估计样本方差S2是82的渐进无偏估计修正样本方差 Sn是δ2无偏估计 证明由式(57)知E(x)=,E(S2)=n=1a2,E O 所以,X和S均为无偏估计量而 lim E(S2)=lim n-102=02 故S2是2的渐进无偏估计 例63设总体X服从区间0,0上的均匀分布、(X1,X2…Xn)是总体X的一个 样本试证:参数是矩估计量O1=2X是O的无偏估计;的最大似然估计 0=maxX1=Xm是b的渐进无偏估计 ≤i≤n 证明E(1)=E(2X)=2E(X)=2E(X)=2x=0,故的矩估计1是无偏估 计量.由例5.4知 n n-I 0≤X≤b P 其他 于是 E(OL)=E(Xm)=xpxon,(x)dx0 ≤ P{ θ ˆ n −θ ≥ ε } ( ) 2 2 ˆ 1 θ θ ε ≤ E n − [ ] ( ) ( ) 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 θ θ θ θ ε = E n − E n + E n − = ( ) ( ) ( ( ))( ( ) ) ( ( ) ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ − θ + θ − θ θ −θ + θ −θ ε E n E n n E n E n E n ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 1 2 2 = ( ) ( ( ) ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − 2 2 ˆ ˆ 1 θ θ θ ε D n E n 令 n → ∞ 且有定理的假设，得 { } 0 ˆ lim − ≥ = →∞ θ θ ε n n P 即θ ˆ n是θ 的相合估计。 例 6.12 设总体 X 的一阶和二阶矩存在,分布是任意的,记 E(X ) = µ , , 则样本均值 2 D(X ) = σ X 是µ 的无偏估计,样本方差 是 的渐进无偏估计,修正样本方差 是 无偏估计. 2 n S 2 δ 2 ∗ Sn 2 δ 证明 由式（5.7）知 E ( X ) = µ , 2 1 2 ( ) σ n n E Sn − = , 2 ( ) 2 = σ ∗ E Sn 所以, X 和 均为无偏估计量,而 2 ∗ Sn 2 1 2 2 lim ( ) lim σ = σ − = → ∞ →∞ n n E S n n n 故 是 的渐进无偏估计. 2 Sn 2 σ 例 6.13 设总体 X 服从区间[0,θ ]上的均匀分布, ) (X1 , X 2 ,"X n 是总体 X 的一个 样本,试证 ：参数θ 是矩估计量 1=2 ˆθ X 是θ 的无偏估计；θ 的最大似然估计 θ ˆ L = = 是 i n Xi 1≤ ≤ max X (n) θ 的渐进无偏估计. 证明 θ θ θ = = = = × = 2 ) (2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ˆ ( E 1 E X E X E X ，故θ 的矩估计 是无偏估 计量. 由例 5.4 知 1 ˆθ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = − 0 其他 0 1 ( ) θ θ x x n p n n X n 于是 ∫ +∞ −∞ E = E X = xp x dx L n X n ) ( ) ( ) ˆ (θ ( ) ( ) 4