x ay= max min x Ay= min max xAy 使用纯策略的对策问题(具有稳定解的对策问题)可以看成使用混合策略的对策问 题的特殊情况,相当于以概率1选取其中某一策略,以概率0选取其余策略 例3A、B为作战双方,A方拟派两架轰炸机Ⅰ和Ⅱ去轰炸B方的指挥部,轰 炸机Ⅰ在前面飞行,Ⅱ随后。两架轰炸机中只有一架带有炸弹,而另一架仅为护航。轰 炸机飞至B方上空,受到B方战斗机的阻击。若战斗机阻击后面的轰炸机Ⅱ,它仅受 Ⅱ的射击,被击中的概率为0.3(I来不及返回攻击它)。若战斗机阻击I,它将同时受 到两架轰炸机的射击,被击中的概率为0.7。一旦战斗机未被击中,它将以06的概率 击毁其选中的轰炸机。请为A、B双方各选择一个最优策略,即:对于A方应选择哪 一架轰炸机装载炸弹?对于B方战斗机应阻击哪一架轰炸机? 解双方可选择的策略集分别是 SA={α13aα2},∝1:轰炸机I装炸弹,Ⅱ护航 α2:轰炸机Ⅱ装炸弹,I护航 SB={B1,B2},B1:阻击轰炸机 B2:阻击轰炸机Ⅱ 赢得矩阵R=(an)2x2,4为A方采取策略a而B方采取策略B时,轰炸机轰炸 B方指挥部的概率,由题意可计算出: a1=0.7+0.3(1-0.6)=0.82 a2=0.3+0.7(1-0.6)=0.58 即赢得矩阵 0.821 R 10.58 易求得H= max mind=0.82,V=- min max d=-1。由于H+v≠0,矩阵 R不存在鞍点,应当求最佳混合策略。 现设A以概率x1取策略α1、以概率x2取策略α2;B以概率η取策略β、以概 率y2取策略B2 先从B方来考虑问题。B采用β1时,A方轰炸机攻击指挥部的概率期望值为 E(B1)=0.82x+x2,而B采用B2时,A方轰炸机攻击指挥部的概率的期望值为 E(B2)=x1+0.58x2。若E(B1)≠E(B2),不妨设E(B1)<E(B2),则B方必采用B1 以减少指挥部被轰炸的概率。故对A方选取的最佳概率x1和x2’必满足: 0.82x,+ 0.58 a1x1+a21x2=a12x1+a2x2 x1+x2-158- x Ay x Ay x Ay T y x T x y T = maxmin = min max 。 使用纯策略的对策问题（具有稳定解的对策问题）可以看成使用混合策略的对策问 题的特殊情况，相当于以概率 1 选取其中某一策略，以概率 0 选取其余策略。 例 3 A、B 为作战双方， A 方拟派两架轰炸机Ⅰ和Ⅱ去轰炸 B 方的指挥部，轰 炸机Ⅰ在前面飞行，Ⅱ随后。两架轰炸机中只有一架带有炸弹，而另一架仅为护航。轰 炸机飞至 B 方上空，受到 B 方战斗机的阻击。若战斗机阻击后面的轰炸机Ⅱ，它仅受 Ⅱ的射击，被击中的概率为 0.3(Ⅰ来不及返回攻击它)。若战斗机阻击Ⅰ，它将同时受 到两架轰炸机的射击，被击中的概率为 0.7。一旦战斗机未被击中，它将以 0.6 的概率 击毁其选中的轰炸机。请为 A、B 双方各选择一个最优策略，即：对于 A 方应选择哪 一架轰炸机装载炸弹？对于 B 方战斗机应阻击哪一架轰炸机？ 解 双方可选择的策略集分别是 { , } A = α1 α 2 S ，α1 ：轰炸机Ⅰ装炸弹，Ⅱ护航 α2 ：轰炸机Ⅱ装炸弹，Ⅰ护航 { , } B = β1 β 2 S ， β1：阻击轰炸机Ⅰ β 2 ：阻击轰炸机Ⅱ 赢得矩阵 2 2 ( ) R = aij × ，aij 为 A 方采取策略αi 而 B 方采取策略 β j 时，轰炸机轰炸 B 方指挥部的概率，由题意可计算出： 0.7 0.3(1 0.6) 0.82 a11 = + − = 1 a12 = ， 1 a21 = 0.3 0.7(1 0.6) 0.58 a22 = + − = 即赢得矩阵 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0.58 0.82 1 R 易求得 = max min = 0.82 ij i j μ a ， = −minmax = −1 ij j i ν a 。由于 μ +ν ≠ 0，矩阵 R 不存在鞍点，应当求最佳混合策略。 现设 A 以概率 1 x 取策略α1 、以概率 2 x 取策略α2 ； B 以概率 1 y 取策略 β1、以概 率 2 y 取策略 β 2 。 先从 B 方来考虑问题。 B 采用 β1 时， A 方轰炸机攻击指挥部的概率期望值为 1 1 2 E(β ) = 0.82x + x ，而 B 采用 β 2 时， A 方轰炸机攻击指挥部的概率的期望值为 2 1 2 E(β ) = x + 0.58x 。若 ( ) ( ) E β1 ≠ E β 2 ，不妨设 ( ) ( ) E β1 < E β 2 ，则 B 方必采用 β1 以减少指挥部被轰炸的概率。故对 A 方选取的最佳概率 1 x 和 2 x ，必满足： ⎩ ⎨ ⎧ + = + = + 1 0.82 0.58 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 即 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = + 1 1 2 11 1 21 2 12 1 22 2 x x a x a x a x a x