三、典型例题解析 例1求m之派+2m++原) 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函 数难以想到，可采取如下方法：先对区间0，】n等分写出积分和，再与所求极限相比较来 找出被积函数与积分上下限. 解将区间取门：等分，则每个小区间长为-片然后起宁-的一个国子片乘 入和式中各项。于是将所求极限转化为求定积分.即 =宁派-很*语-星 例2V2x-xk= 解法1由定积分的几何意义知，[√2x-天等于上半圆周(x-1}+y2=1(y≥0) 与x轴所围成的图形的面积.故∫广√2x-产k= 解法2木愿也可直接用换元法求解。令x-1=sn1(-号≤1≤号)，则 x=-sin'i costdr=2-sin'icosidi=2f cos'idt= 例3比较ed,ek,∫+xt. 分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分 值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小， 解法1在[L,2]上，有e≤e.而令fx)=C-(x+),则fx)=e-1.当x>0时， (x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增，从而fx)>0),可知在1,2】上，有e>1+x.又 ∫fx)=-∫广fx)t,从而有1+x>,e>∫e. 解法2在L2习上，有。≤d。由素勒中值定理e=1+x+气得e>1+,注意到 ∫fx)=fx)达.因此 ∫+x>e>je 例4估计定积分e本的值. 分析要估计定积分的值，关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值。三、典型例题解析 例 1 求 3 3 3 2 2 3 2 1 lim ( 2 ) n n n n → n + + + ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函 数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来 找出被积函数与积分上下限． 解 将区间 [0, 1] n 等分，则每个小区间长为 1 i x n  = ，然后把 2 1 1 1 n n n =  的一个因子 1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3 3 3 2 2 3 2 1 lim ( 2 ) n n n n → n + + + = 3 3 3 1 1 2 lim ( ) n n → n n n n + + + = 1 3 0 3 4 xdx =  ． 例 2 2 2 0 2x x dx −  =_． 解法 1 由定积分的几何意义知， 2 2 0 2x x dx −  等于上半圆周 2 2 ( 1) 1 x y − + = ( y  0 ) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 2 2 0 2x x dx −  = 2  ． 解法 2 本题也可直接用换元法求解．令 x −1= sin t （ 2 2 t   −   ），则 2 2 0 2x x dx −  = 2 2 2 1 sin cos t tdt   − −  = 2 2 0 2 1 sin cos t tdt  −  = 2 2 0 2 cos tdt   = 2  例 3 比较 1 2 x e dx  ， 1 2 2 x e dx  ， 1 2 (1 ) + x dx  ． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分 值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法 1 在 [1,2] 上，有 2 x x e e  ．而令 ( ) ( 1) x f x e x = − + ，则 ( ) 1 x f x e  = − ．当 x  0 时， f x ( ) 0  ， f x( ) 在 (0, ) + 上单调递增，从而 f x f ( ) (0)  ，可知在 [1,2] 上，有 1 x e x  + ．又 1 2 2 1 f x dx f x dx ( ) ( ) = −   ，从而有 1 1 1 2 2 2 2 (1 ) x x +   x dx e dx e dx    ． 解法 2 在 [1,2] 上，有 2 x x e e  ．由泰勒中值定理 2 1 2! x e e x x  = + + 得 1 x e x  + ．注意到 1 2 2 1 f x dx f x dx ( ) ( ) = −   ．因此 1 1 1 2 2 2 2 (1 ) x x +   x dx e dx e dx    ． 例 4 估计定积分 0 2 2 x x e dx −  的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．