解设fx)=e,因为fx)=e22x-),令fx)=0,求得驻点x=，而 o-1.1 ni. ei≤f)≤e,x∈0,2， 从而 2eset≤2e2, 所以 2e2s0ek≤-2e. 例5设fx),gx)在[a,上连续，且g(x)≥0，fx)>0.求1img)F 解由于fx)在[a,)上连续，则fx)在[a,上有最大值M和最小值m.由fx)>0知 M>0,m>0.又gx)20,则 mgx)≤∫gx)Ft≤Mgx)d 由于m所=mM-1,故 limg((d=g(x)dx 例6求mnk,Bn为自然数。 分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问愿的常用方法是利 用积分中值定理与夹逼准则。 解法1利用积分中值定理 设/)=n,显然)在a+p月上连续，由积分中值定理得 rnk=迎三p,ean+风， 当n→o时，5→oo,而sin月s1,故 =广p=0 解法2利用积分不等式 因为 na≤=n"2 面回h-0所以 解 设 2 ( ) x x f x e − = , 因为 2 ( ) (2 1) x x f x e x −  = − , 令 f x ( ) 0 = ，求得驻点 1 2 x = , 而 0 f e (0) 1 = = , 2 f e (2) = , 1 4 1 ( ) 2 f e − = , 故 1 4 2 e f x e x ( ) , [0,2] −    , 从而 2 1 2 4 2 0 2 2 x x e e dx e − −    , 所以 2 1 0 2 4 2 2 2 x x e e dx e − − −   −  . 例 5 设 f x( ) ， g x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且 g x( ) 0  ， f x( ) 0  ．求 lim ( ) ( ) b n n a g x f x dx →  ． 解 由于 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 上有最大值 M 和最小值 m ．由 f x( ) 0  知 M  0， m  0 ．又 g x( ) 0  ，则 ( ) b n a m g x dx  ( ) ( ) b n a  g x f x dx  ( ) b n a  M g x dx  ． 由于 lim lim 1 n n n n m M → → = = ，故 lim ( ) ( ) b n n a g x f x dx →  = ( ) b a g x dx  ． 例 6 求 sin lim n p n n x dx x + →  , p n, 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利 用积分中值定理与夹逼准则． 解法 1 利用积分中值定理 设 sin ( ) x f x x = , 显然 f x( ) 在 [ , ] n n p + 上连续, 由积分中值定理得 n p sin sin n x dx p x   + =   ,   + [ , ] n n p , 当 n → 时,  → , 而 sin 1   , 故 sin sin lim lim 0 n p n n x dx p x    + → → =  =  ． 解法 2 利用积分不等式 因为 sin sin 1 ln n p n p n p n n n x x n p dx dx dx x x x n + + + +   =    , 而 lim ln 0 n n p → n + = ,所以