mnk=0。 例7求m千。 解法1由积分中值定理fxg(x=f⑤心gx)女可知 =r,0s5s1. -r-▣点0时中1 后=0， 解法2因为0≤x≤1，故有 于是可得 0s+≤r 又由于 r=n→n-→m 因此 im0. 例8设函数fx)在0,1上连续，在(0，)内可导，且4∫f(x)d=f0).证明在(0，)内 存在一点c,使fc)=0. 分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件∫()=∫0)即可， 证明由题设fx)在0，】上连续，由积分中值定理，可得 ()=4f(x)dx=4f(XI-2)=f(5) 其中5∈[子)c0,.于是由罗尔定理，存在c∈(0，)c0,),使得f"c=0.证毕 例9(1)若fx)=ed,则f')=_:(2)若fx)=fd,求∫x=_ 分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 fo=es)-fus国. 解(1)f(x)=2xer-e: (2)由于在被积函数中x不是积分变量，故可提到积分号外即fx)=xf0)d,则sin lim 0 n p n n x dx x + → =  ． 例 7 求 1 0 lim 1 n n x dx → + x  ． 解法 1 由积分中值定理 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f g x dx =    可知 1 0 1 n x dx + x  = 1 0 1 1 n x dx +   ，0 1    ． 又 1 0 1 lim lim 0 1 n n n x dx → → n = = +  且 1 1 1 2 1    + ， 故 1 0 lim 0 1 n n x dx → x = +  ． 解法 2 因为 0 1  x ，故有 0 1 n x n x x   + ． 于是可得 1 1 0 0 0 1 n x n dx x dx x   +   ． 又由于 1 0 1 0( ) 1 n x dx n n = → →  +  ． 因此 1 0 lim 1 n n x dx → + x  = 0 ． 例 8 设函数 f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 3 4 1 4 ( ) (0) f x dx f =  ．证明在 (0,1) 内 存在一点 c ，使 f c ( ) 0 = ． 分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件 f f ( ) (0)  = 即可． 证明 由题设 f x( ) 在 [0,1] 上连续，由积分中值定理，可得 3 4 1 3 (0) 4 ( ) 4 ( )(1 ) ( ) 4 f f x dx f f = = − =    ， 其中 3 [ ,1] [0,1] 4    ．于是由罗尔定理，存在 c  (0, ) (0,1)  ，使得 f c ( ) 0 = ．证毕． 例 9 （1）若 2 2 ( ) x t x f x e dt − =  ，则 f x ( ) =_；（2）若 0 ( ) ( ) x f x xf t dt =  ，求 f x ( ) =_． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx = −    ． 解 （1） f x ( )= 4 2 2 x x xe e − − − ； （2） 由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即 0 ( ) ( ) x f x x f t dt =  ，则