S1.2矩阵表示 1.2矩阵表示 在对线性方程组施行初等变换的时候，我们注意到每个方程的左端都是数与字母的乘积之和的 形式，只需要对未知数的系数进行操作：并且方程的个数、未知数的个数、未知数的顺序均保持不 变.因此，我们可以隐去未知数和运算符号，用一个m行n+1列的矩形表格 012 01n 121 02n (1.3) 来表示线性方程组(11)，把对于线性方程组的操作转化为对于矩形表格的操作，《九章算术·方程》 中就记拔若这样的解法：用算筹把线性方程组的系数和常数项排成长方形阵，燃后用加减消元法求 解.秦九韶四的《数书九章》（成书于1247年）中则用互乘相消法和代入法求解线性方程组 例1.2.回今有上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗：上禾二秉、中禾三兼、下禾一秉，实 三十四斗：上禾一兼、中禾二兼、下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上 禾一秉，九斗、四分斗之一：中禾一秉，四斗、四分斗之一：下禾一秉，二斗、四分斗之三. 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方.中、左行列如右方.以右 行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除.左方丁 禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实.求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾 秉数而一，即中禾之实，求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实，余如上禾秉数而一，即 上禾之实。实皆如法，各得一斗 下面，我们来学习古人的“方程术”.用现代数学的语言来说，原问题等价于求解线性方程组 3x+2y+=39 2x+3y+2=34 x+2u+32=26 首先，把线性方程组的系数按照古人的书写顺序（从上到下，从右到左，行是竖直方向）排成数表。 数表逆时针旋转90°，即为线性方程组的增广矩阵。 左行中行右行 上禾1 23 中禾 2 2 下禾3 1 1 实263439 然后，用（右行，上禾）位置的数3遍乘中行的每个元素，再利用右行对中行消元，得 123 /1631 /103 311 33i 263439/ 2610239/ 262439 §1.2 矩阵表示 11 §1.2 矩阵表示 在对线性方程组施行初等变换的时候，我们注意到每个方程的左端都是数与字母的乘积之和的 形式，只需要对未知数的系数进行操作；并且方程的个数、未知数的个数、未知数的顺序均保持不 变．因此，我们可以隐去未知数和运算符号，用一个 m 行 n + 1 列的矩形表格 M =   a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 . . . . . . · · · . . . . . . am1 am2 · · · amn bm   (1.3) 来表示线性方程组 (1.1)，把对于线性方程组的操作转化为对于矩形表格的操作．《九章算术 · 方程》 中就记载着这样的解法：用算筹把线性方程组的系数和常数项排成长方形阵，然后用加减消元法求 解．秦九韶[1]的《数书九章》（成书于 1247 年）中则用互乘相消法和代入法求解线性方程组． 例 1.2. [2]今有上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉、中禾三秉、下禾一秉，实 三十四斗；上禾一秉、中禾二秉、下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上 禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；下禾一秉，二斗、四分斗之三． 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方．以右 行上禾遍乘中行而以直除．又乘其次，亦以直除．然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除．左方下 禾不尽者，上为法，下为实．实即下禾之实．求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实．余如中禾 秉数而一，即中禾之实．求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实．余如上禾秉数而一，即 上禾之实．实皆如法，各得一斗． 下面，我们来学习古人的“方程术”．用现代数学的语言来说，原问题等价于求解线性方程组    3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 首先，把线性方程组的系数按照古人的书写顺序 (从上到下，从右到左，行是竖直方向) 排成数表． 数表逆时针旋转 90◦，即为线性方程组的增广矩阵． 左行 中行 右行 上禾 1 2 3 中禾 2 3 2 下禾 3 1 1 实 26 34 39 然后，用 (右行, 上禾) 位置的数 3 遍乘中行的每个元素，再利用右行对中行消元，得   1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39   →   1 6 3 2 9 2 3 3 1 26 102 39   →   1 0 3 2 5 2 3 1 1 26 24 39   . [1]秦九韶，约 1202–1261，南宋著名数学家，四川安岳人． [2]《九章算术》第 8 章《方程》第 1 题．