Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU 定理一(迭加原理):若y(x)和y2(x)是n阶线性微分方程(共有n个解) dx dx'dr yx)=Lny(x)=0 的两个解,则4y(x)+B2(x)也是该方程的解(A和B是两个任意常数 定理二:若y(x)和y2(x)是方程 y(x)+p(x)y(x)+(x)y(x)=L2y(x)=0 的两个特解,则y(x)和y2(x)线性无关的充要条件是:它们的朗斯基 ( Wronski))行列式数学: Wronsky行列式)△(n,y2)=Px)y2(x不为 yi(x)y2(x) 零。这条定理是显而易见的,如果y和y2是线性相关的,则令 4y(x)+B2(x)=0.将其微商便得到方程组{1+的2=0 Ay+ By=0 当△=,|=0时,有非零的A和B解,此即y1y=-AB反之,当 y △≠0时,只有平凡解:A=B=0,此即表示y和y2是线性无关的(两者 的比值是x的函数)。 Wronski行列式的性质 i)交换对称性:△(y,y2)=△(y2yH) i)对数连续性:A(,y2)x=031 loelylato dlogr dlog y2 d log x i)线性相关性:△(y1,y2)=0a)→y2=cy1(c= const) 如果y1(x)和y2(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)x)=0的两个线 性独立解(称为特解),那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此,对于这个方程来说,{v(x),y2(x)是完备系(基本解),而 (x)=Ay(x)+B2(x)为通解。有了通解,再根据定解条件:y(x)=a和 y(x0)=B,就可以确定常数A和B.Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 2 定理一（迭加原理）：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是 n 阶线性微分方程（共有 n 个解） 1 0 1 0 d d d d ˆ , , , , ( ) ( ) 0 d d d d n n L y x L y x n n n x x x x           的两个解，则 ( ) ( ) 1 2 Ay x  By x 也是该方程的解（ A 和 B 是两个任意常数）。 定理二：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 2 ˆ y x p x y x q x y x L y x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0     的两个特解，则 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 线性无关的充要条件是：它们的朗斯基 （Wronski）行列式(数学：Wronsky 行列式)   ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 y x y x y x y x y y     不为 零 。 这 条 定 理 是 显 而 易 见 的 ， 如 果 1 y 和 2 y 是线性相关的 ， 则 令 Ay1 (x)  By2 (x)  0 . 将其微商便得到方程组          0 0 1 2 1 2 Ay By Ay By . 当 0 1 2 1 2      y y y y 时，有非零的 A 和 B 解，此即 2 1 y y A B / / .   反之，当   0 时，只有平凡解： A  B  0 ，此即表示 1 y 和 2 y 是线性无关的（两者 的比值是 x 的函数）。 Wronski 行列式的性质： i) 交换对称性：     y y y y 1 2 2 1 , , .    ii）对数连续性：   0 0 0 1 2 1 2 d log d log , | 0 | | . d log d log x x x x x x y y y y x x        iii）线性相关性：       y y x y cy c 1 2 2 1 , 0 (for all ) ( const. ).  如果 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的两个线 性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此，对于这个方程来说， y1 (x), y2 (x) 是完备系(基本解)，而 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x  Ay x  By x 为通解。有了通解，再根据定解条件： y(x0 )   和 y (x0 )   ,就可以确定常数 A 和 B