§2子空间与商空间 42.1线性空间的子空间的定义 定义4,12子空间 设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集。如果M关于V内的加法与数 乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间。 命题47设V是K上的线性空间,又设一个非空集合W∈V,则W是子空间当且仅当下 述两条成立 i)、W对减法?封闭 ⅱi)、W对于K中元素作数乘封闭 证明: 必要性由定义直接得出 充分性: 各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件。 只需要证明0∈W且对于任意∝∈W,-a∈W,且对加法封闭即可 事实上,由于W关于数乘封闭,则0·a=0∈W;(-1)·a=-a∈W,于是对于 Va,B∈W,a+B=a-(-B)∈W,W关于加法封闭。于是W是V的一个子空间 证毕 事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论 命题48设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基 证明: 设dm=n,dmW=r,(r≤n), 若r=n,则命题为真 若r<n,对n-r作归纳 设E1E2…E为W的一组基,取En∈V\W,则E12E2…,E,En线性无关。于是令 W'={a+ks,|a∈W,k∈K},易见,W是的一个子空间,且dimW"=r+1,此时 n-dimW'=n-r-1,对其用归纳假设即可§2 子空间与商空间 4.2.1 线性空间的子空间的定义 定义 4.12 子空间 设 V 是数域 K 上的一个线性空间，M 时 V 的一个非空子集。如果 M 关于 V 内的加法与数 乘运算也组成数域 K 上的一个线性空间，则称为 V 的一个子空间。 命题 4.7 设 V 是 K 上的线性空间，又设一个非空集合 W V  ，则 W 是子空间当且仅当下 述两条成立： i）、 W 对减法?封闭； ii）、 W 对于 K 中元素作数乘封闭。 证明： 必要性由定义直接得出； 充分性： 各运算律在 V 中已有，所以 W 满足运算律的条件。 只需要证明 0W 且对于任意  W ， −  W ，且对加法封闭即可。 事实上，由于 W 关于数乘封闭，则 0 0 • =   W ； ( 1) − • = −    W ，于是对于    , W ，    + = − −  ( ) W ，W 关于加法封闭。于是 W 是 V 的一个子空间。 证毕。 事实上，W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。 命题 4.8 设 W 是 V 的一个有限维子空间，则 W 的任一组基可以扩充为 V 的一组基。 证明： 设 dimV n = ，dimW r = ，( ) r n  ， 若 r n = ，则命题为真； 若 r n  ，对 n r − 作归纳： 设 1 2 , , , r    为 W 的一组基，取 1 \  r+ V W ，则 1 2 1 , , , , r r     + 线性无关。于是令 1 ' { | , } W k W k K = +      r+ ，易见，W’是 V 的一个子空间，且 dim ' 1 W r = + ，此时 n W n r − = − − dim ' 1 ，对其用归纳假设即可