的最短距离等于 laTo +byo + col 7.设A是n阶实可逆阵.求证:A=QT,其中Q是正交阵,T是上三角阵且对角线元素大于零 进一步,证明这种表示方法是唯 8.已知a1=(1,-2,1)r,a2=(-1,a,1)依次是三阶不可逆实对称阵A的属于特征值1 1,A2=-1的特征向量.求 (1)A; (2)420108,其中B=(1,1,1) 9.设三阶实对称阵A的特征值A1=1,A2=2,A3=-2,又a1=(1,-1,1)是A的属于A1的 一个特征向量,记B=45-4A3+E (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值和特征向量 B=(1,1,-2).已知线性方程组AX=B有解但不唯一.试求 (1)a的值; (2)正交矩阵Q,使得QAQ为对角矩阵 11.设 201 A 02a 已知a=(1,1,1)2是A的特征向量 求a,b的值及特征向量a所对应的特征值; 求A的全部特征值和特征向量 间A是否可对角化?若是,求正交矩阵Q,使得Q-1AQ为对角阵 12.设φ是n维欧氏空间V上的线性变换.证明:y是对称变换的充分必要条件是有n个两两 正交的特征向量 13.证明n维欧氏空间的两个对称变换y2,v有公共的由它们的特征向量组成的标准正交基的充要条件 14.设A,B是R上n阶对称阵,且AB=BA.求证:存在正交阵Q,使得Q-AQ,Q-1BQ同 时为对角阵 15.设A1,A2,…,Am是m个n阶实对称阵且两两乘积可交换,求证存在正交阵Q,使QA1Q(i 1,2,…,m)都是对角阵 17.(1)设5,是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明存在一镜面反射φ,使得φ(5)=7; (2)证明:n维欧氏空间中任意正交变换都可以表为一系列镜面反射的乘积'b.℄f(G |ax0 + by0 + cz0| √ a 2 + b 2 + c 2 . 7. Æ A  n U`{RU A = QT , ~[ Q TRR T SR
/S/K Gm X:UtQ\31$:' 8. <V α1 = (1, −2, 1)T , α2 = (−1, a, 1)T ;U`{/R A 'GSW λ1 = 1, λ2 = −1 'S1k (1) A; (2) A2010β, ~[ β = (1, 1, 1)T . 9. ÆU/R A 'SW λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, F α1 = (1, −1, 1)T  A 'G λ1 ' :8S1kL B = A5 − 4A3 + E. (1) 6U α1 \R B 'S1k B 'SWCS1k (2) \R B. 10. Æ\R A =   1 1 a 1 a 1 a 1 1   , β = (1, 1, −2)T . <V/33a AX = β EW#$: (1) a 'W (2) TR\R Q, & QT AQ %/S\R 11. Æ A =   2 0 1 0 2 a 1 1 b   , <V α = (1, 1, 1)T  A 'S1k (1) a, b 'WJS1k α /B'SW (2) A 'SWCS1k (3) ( A 5`/SF TR\R Q, & Q−1AQ %/SR 12. Æ ϕ  n &|bO V '/3 GUt ϕ / G'48!P ϕ E n 8jj TR'S1k 13. Ut n &|bO'j8/ G ϕ, ψ E;<'Dr'S1ka'Æ^TRH'8!P  ϕψ = ψϕ. 14. Æ A, B  R  n U/R
AB = BA. ULTRR Q, & Q−1AQ, Q−1BQ " %/SR 15. Æ A1, A2, · · · , Am  m 8 n U/R
jjI`RGULTRR Q,  QT AiQ(i = 1, 2, · · · , m) +/SR 17. (1) Æ ξ, η  n &|bO V [j8"'"'1kUtL:Zs2 ϕ, & ϕ(ξ) = η; (2) Ut n &|bO[>TR G+`=%:+lZs2 'I 6