习题12.2多元复合函数的求导法则 1.利用链式规则求偏导数: (31+2 求 d t 2) =ex-2y x=sint, y=t3,求 d-z ,y= asin,z=cosx,求" (4) - In 求 y (5)u=e++, ==y2 x, x (6)=(x+y+)sin(x2+y2+z2),x=le,y=e',z=e”,求 at (7)==x'+y+cos(x+y), x=u+v, y=arcsin, x au aau 以下假设∫具有二阶连续偏导数 (8)u=fxy,,求 auau ax ay day ay 9)u=f(x2+y2+z2),求 au auau au a (10)w=f(x,y,z),x=+",y=l-",z=,求 解(1)记u=3+2x2-y2,则 ddd止( u au dx au d dt du dt du at ar dt ay dt [3+4x(-)-2y]ec dt ax dt ay dt 2ex-2.3t2 6) (cost-6l z2(cost-61)=emr(cost-62)2-sin-12门]。习题 12.2 多元复合函数的求导法则 1． 利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） z = ex−2 y , x = sin t, y = t 3 ，求 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x， z = cos x，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6）w = (x + y + z)sin(x 2 + y 2 + z 2 )，x = tes ，y = et ，z = es+t ，求 t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） z = x 2 + y 2 + cos(x + y)， x = u + v， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9）u = f (x 2 + y 2 + z 2 ) ，求 x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10）w = f (x, y,z)， x = u + v ， y = u − v， z = uv，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 解 (1) 记u t = + 3 2x 2 − y 2 ，则 dz dt = ( ) dz du dz u u dx u dy du dt du t x dt y dt ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 1 1 [3 4 ( ) 2 ]sec 2 x y u t t = + ⋅ − − ⋅ = 2 3 2 4 2 (2 )sec (2t ) t t − + 。 (2) dz dt = 2 2 2 cos 2 3 (cos 6 ) z dx z dy x y x y e t e t z t x dt y dt ∂ ∂ − − + = − ⋅ = − ∂ ∂ 2 t ， 3 2 2 2 sin 2 2 2 2 (cos 6 ) (cos 6 ) [(cos 6 ) sin 12 ] d z dz d t t t t z t t e t t t t dt dt dt − = − + − = − − − 。 1