习题12.2多元复合函数的求导法则 1.利用链式规则求偏导数: (31+2 求 d t 2) =ex-2y x=sint, y=t3,求 d-z ,y= asin,z=cosx,求" (4) - In 求 y (5)u=e++, ==y2 x, x (6)=(x+y+)sin(x2+y2+z2),x=le,y=e',z=e”,求 at (7)==x'+y+cos(x+y), x=u+v, y=arcsin, x au aau 以下假设∫具有二阶连续偏导数 (8)u=fxy,,求 auau ax ay day ay 9)u=f(x2+y2+z2),求 au auau au a (10)w=f(x,y,z),x=+",y=l-",z=,求 解(1)记u=3+2x2-y2,则 ddd止( u au dx au d dt du dt du at ar dt ay dt [3+4x(-)-2y]ec dt ax dt ay dt 2ex-2.3t2 6) (cost-6l z2(cost-61)=emr(cost-62)2-sin-12门]
习题 12.2 多元复合函数的求导法则 1． 利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） z = ex−2 y , x = sin t, y = t 3 ，求 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x， z = cos x，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6）w = (x + y + z)sin(x 2 + y 2 + z 2 )，x = tes ，y = et ，z = es+t ，求 t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） z = x 2 + y 2 + cos(x + y)， x = u + v， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9）u = f (x 2 + y 2 + z 2 ) ，求 x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10）w = f (x, y,z)， x = u + v ， y = u − v， z = uv，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 解 (1) 记u t = + 3 2x 2 − y 2 ，则 dz dt = ( ) dz du dz u u dx u dy du dt du t x dt y dt ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 1 1 [3 4 ( ) 2 ]sec 2 x y u t t = + ⋅ − − ⋅ = 2 3 2 4 2 (2 )sec (2t ) t t − + 。 (2) dz dt = 2 2 2 cos 2 3 (cos 6 ) z dx z dy x y x y e t e t z t x dt y dt ∂ ∂ − − + = − ⋅ = − ∂ ∂ 2 t ， 3 2 2 2 sin 2 2 2 2 (cos 6 ) (cos 6 ) [(cos 6 ) sin 12 ] d z dz d t t t t z t t e t t t t dt dt dt − = − + − = − − − 。 1
)22+0女 a cos x sIn a2+1 2unv.-+-3 n(3x-2y)+ 2(3x-2 azaz a 2ulnv(-2)+-(-2) 2x2 2x2 n(3x-2y)- y2(3x-2 (5)如=amha a or d ar u2x +u. 22.ycosx r(2x+2y sin x cos x) au au du az l·2y+l·2-·2 sinx (2y+4y sin2x) 记=x-+y-+2-,=x+γ+2。 则 aw ax a ay aw az as Cx as ay as a- as x(sin u+ 2xv cos u)+o(sin u+ 2yv u)+=(sin u+ 2=v cos u) te(sin u+ 2xvcosu)+e(sin u+2-v cos u) e(sin u+2xv cos u)+y(sin u+2 yv cos u)+=(sin u+2=v cos u) e(sin u+ 2xvcosu)+e(sin u+ 2yv cosu)+e(sin u+ 2= u)
(3) dw w w dy w dz dx x y dx z dx ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 ( ) cos ( sin ) 1 1 1 ax ax ax ae y z e e a x x a a a − = + ⋅ − ⋅ − + + + sin ax = e x。 (4) dz z u z dv dx u x v dx ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ 2 1 2 ln 3 u u v y v = ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 3 ln(3 2 ) (3 2 ) x x x y y y = − + x − y ， z z u z v y ∂ y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 ln ( ) ( 2) x u u v y v = ⋅ − + ⋅ − 2 2 3 2 2 2 ln(3 2 ) (3 2 ) x x x y y y = − − − x − y 。 (5) u u du z x x dz ∂ ∂ = + ∂ ∂ x x ∂ ∂ 2 = ⋅ u x2 2 + u z ⋅ ⋅ y cos x 224 2 sin 4 (2 2 sin cos ) x y y x e x y x + + = + u u du z y y dz y ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = ⋅ u y 2 2 + u ⋅ z⋅ 2y sin x 224 2 sin 3 2 (2 4 sin ) x y y x e y y + + = + x 。 (6) 记u = x 2 + y 2 + z 2，v = x + y + z 。则 w w x w y w s x s y s z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z s = x(sin u + 2xv u cos ) + + 0(sin u 2yv u cos ) + + z(sin u 2zv cosu) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s s t te u xv u e u zv u + = + + + w w x w y w t x t y t z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z t (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s = + e u xv u + y u + yv u + z u + zv u (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s t s t e u xv u e u yv u e u zv u + = + + + + + 。 2
()O= 0= ax_ cy [2x-sin(x+y)].1+[2y-sin(x+y)].0 2(u+v)-sin(u+v+arcsin v), a2=8a Ovau av au 2-cos(u+v+arcsin v(1 (8)记 ax av ax aw ax ay ay salry,2-5+ au au av au aw f2l xy,+ xyfu xy, xy ay a 则 df av x dy ax ixf( au df av ay dv ay az dy az
(7) z z x z y u ∂ ∂ = − [2x x sin( + y)]⋅1+[2y − sin(x + y)]⋅0 u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + 2(u v) − sin(u v + + arcsin v)， 2 ( ) z z v u v u ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 2 cos( arcsin )(1 ) 1 u v v v − + + + − 。 (8) 记 , x v xy w y = = ，则 u u v u w x v x w x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 1 , , x x yf xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , u u v u w y v y w ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 , , x x x xf xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 2 ( ) u u x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 1 2 1 , , , , x x x x f xy f xy x f xy f xy y y y x y y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x = 1 2 2 1 , , x x f xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x f xy y x y x xyf xy, , 11 3 22 , 2 2 ( ) u u y y y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 3 2 2 1 2 2 , , , x x x x f xy x f xy f xy y y y y y y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x y 2 3 2 11 2 , , x x x f xy x f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y x y x f xy y x , , 2 4 22 2 2 12 2 。 (9) 记v x = +2 2 y + z 2 ，则 u df v x dv x ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' xf x( y + z ), u df v y dv y ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' yf (x y + z ) , u df v z dv z ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' zf (x y + z ) , 3
=2/(x2+y2+2)+2x(x2+y2+2) =2f(x2+y2+2)+4x2f"(x2+y2+2), a-2 =2yf( 4xyrf"(x2+y2+-2)。 a一++ ay, aw az ay av az av f-f+uf 02-=1+0- F/+a, ax a ay, a, az a, ax a, ay af, az Ox ou ay ou az ou =Jx+(+)x-fy+(-v)/+f+y=° 2.设f(x,y)具有连续偏导数,且f(x,x2)=1,f(x,x2)=x,求 f(x,x) 解在等式f(x,x2)=1两边对x求导,有 af af ay x+9=(r)+2(x)2=0, 再将f(x,x2)=x代入,即可得到 f, 2 3.设f(x,y)具有连续偏导数,且f(1,1)=1,f(,1)=2,f,(,1)=3。如 果o(x)=f(x,f(x,x),求(1) 解)=y(xy(x)+9(x,(x)2x), 其中
2 '( ) 2 2 2 2 2 f x y z x u = + + ∂ ∂ 2 2 2 2 ' x f x( y z ) x ∂ + + + ∂ 2 2 2 = + 2 ' f (x y + z ) 4 "( ) 2 2 2 2 + x f x + y + z , 2 u x y ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ' y f (x y z ) x ∂ = + ∂ + ) 2 2 2 = 4 " xyf (x + y + z 。 (10) w w x w y w z u ∂ ∂ x y f f vf u x u y u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + z , w w x w y w z v ∂ ∂ x y f f uf v x v y v z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + z , 2 w u v ∂ ∂ ∂ x y z z w f f f f u u v u u u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x yyy z fff x y z fff x y f z x u y u z u x u y u z u ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = +++− − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) zzz fff x y z u x u y u z u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) xx xz yy yz z zz = + f u + v f − f + u − v f + f + uvf 。 2． 设 具有连续偏导数，且 ， ，求 。 f (x, y) ( , ) 1 2 f x x = f x x x x ( , ) = 2 ( , ) 2 f x x y 解 在等式 f (x, x 2 ) = 1两边对 x 求导，有 2 2 ( , ) 2 ( , ) 0 x y f f y f x x xf x x x y x ∂ ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ ∂ ， 再将 f x (x, x 2 ) = x 代入，即可得到 2 1 ( , ) 2 f y x x = − 。 3．设 f (x, y)具有连续偏导数，且 f (1,1) = 1， f x (1,1) = 2， 。如 果 f y (1,1) = 3 ϕ(x) = f (x, f (x, x))，求ϕ′(1)。 解 ( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) d x f f dy x x y x x y x dx x y dx ϕ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ， 其中 4
y(x)=x,x),)=(x,x)+y(x,x)。 由于y(1)=f(1)=1,以x=1代入上述等式,得到 q(1)=f1(1,1)+Jr(,1)((1,l)+f(.1)=17 4.设:“m少、其中/(具有连续导数,且100,1+1 解 af(x -y) 2xyf' ax f(x2-y2) f(x2-y2)f2(x2-y2)2yf(x2-y2)f( 直接计算可得 x ax y ay y(x2-y2)° 5.设z= arctan,x=n+,y=n-,验证 证=ca+c az az ax az ay av ax av ay av 又由于x2+y2=(u+)2+(u-y)2=2n2+2n2,所以 az az 6.设g和v具有二阶连续导数,验证 (1)u=yo(x2-y2)满足y (2)1=0(x-a)+v(x+a)满足波动方程=a20x
y x( ) = f (x, x)， ( ) ( , ) ( , ) dy x f f x x x dx x y x ∂ ∂ = + ∂ ∂ 。 由于 y f (1) = (1,1) =1，以 x =1代入上述等式，得到 '(1) (1,1) (1,1)( (1,1) (1,1)) 17 x y x y ϕ = + f f f f + = 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t)具有连续导数，且 f (t) ≠ 0，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 解. z x ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 '( ( ) ( y f x y xyf x y f x y x f x y ∂ − − − = − − ∂ − ) ) ， z y ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( y f x y y f x y f x y f x y y f x y f x y ∂ − − − = + − − ∂ − − '( ) ) ， 直接计算可得 ( ) 1 1 1 2 2 y yf x y z x y z x − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 z z x z u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y u 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y ⎛ ⎞ y − = + ⎜ ⎟ − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， z z x z v x v y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y v 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y y + = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 又由于 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 x + = y u + v + u − v = u + v ，所以 z z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2y x y = + 2 u v u v 2 − = + 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1）u = yϕ(x 2 − y 2 )满足 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at)满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 5
证(1) =yo( a(x2-y2) xyo'(x-y) =o(x2-y2) =(x2-y2)-2y2q(x2-y2) 所以 + x (2)t=o'(x-ar)+y'(x+an), o24,0(x-ar)+y"(x+ar ax -ao'(x-ar)+ay'(x+at), a(x-at+a'y(x+at) 所以 2u202u 7.设:=(xy具有二阶连续偏导数,写出0+2在坐标变换 下的表达式 解2=202+0=2x2+2y2 a-2az au a-- av Ou au ax vou ax auoy ax av ax a-z 4. t Ou ay Vou ay Uav ay av ay y
证 （1） 2 2 u x( ) y x x ∂ ∂ϕ − = ∂ ∂ y 2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) 2 '( ) x y y x y xy x y x ϕ ϕ ∂ − = − = − ∂ ， 2 2 2 2 ( ) ( ) u x x y y y y ϕ ϕ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ − y 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) '( ) x y x y y x y y ϕ ϕ ∂ − = − + − ∂ 2 2 2 2 2 = − ϕ ϕ ( ) x y y − 2 '( ) x − y ， 所以 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 （2） '( ) '( ) u x at x at x ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， 2 2 ''( ) ''( ) u x at x at x ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， '( ) '( ) u a x at a x at t ϕ ψ ∂ = − − + + ∂ ， 2 2 2 2 ''( ) ''( ) u a x at a x at t ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， 所以 2 2 2 2 2 u u a t x ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 7．设 z = f (x, y) 具有二阶连续偏导数，写出 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 在坐标变换 ⎩ ⎨ ⎧ = = − v xy u x y 2 , 2 2 下的表达式。 解 z z u z v x u x v ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ 2 2 z z x y u v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ， 2 2 2 ) v 2 2 2 2 ( z z z u z x x u u x v u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) z u z v y u v x v x ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 z z z x xy y u u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 z v ， z z u z y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y = 2 2 z z y x u v ∂ ∂ − + ∂ ∂ ， 2 2 2 ) 2 2 2 2 ( z z z u z y y u u y v u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) z u z v x u v y v y ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 z z z y xy x u u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 z v 。 6
由于2+y2=x+2x2y2+y2=(x2+y2)2,所以 =4(x2+y2)(2+)=4Vn2+v 8.设/(x1)=c山,求020y5。 Croy x ay 解 可=ex2 = xe -x2y2 0f=-2ye),03f-0-2x2y2ex.a3f=1x。 ax ayax 所以 x32-22+y32f 9.如果函数f(x,y)满足:对于任意的实数t及x,y,成立 f(x, ty)=t"f(x, y) 那么∫称为n次齐次函数。 (1)证明n次齐次函数f满足方程 +, nf (2)利用上述性质,对于:=√2+y2求出x2+y 证在等式f(x,p)=1f(x,y)两边对t求导, af(tx, ty) f(x, ty)+f(tx, ty)=nt"-f(x, y) 将=1代入即得到 o+, (2)由于(0x,y)=t(x,y),所以n=1,由(1) 02 02 10.设=fxx|+gx,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶
由于u v 2 + =2 x 4 + 2x 2 y 2 4 + y = (x 2 + y 2 ) 2，所以 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 4( )( ) z z x y u v ∂ ∂ = + + ∂ ∂ 4 ( ) 2 2 2 2 2 2 v z u z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ = + 。 8．设 = ∫ − ，求 xy t f x y e dt 0 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 。 解 2 2 x y f ye x ∂ − = ∂ ， 2 2 x y f xe y ∂ − = ∂ ， 2 2 2 3 2 2 x y f xy e x ∂ − = − ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y f e x y e y x ∂ − − = − ∂ ∂ ， 2 2 2 3 2 2 x y f x ye y ∂ − = − ∂ 。 所以 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 x y e− = − 。 9．如果函数 f (x, y)满足：对于任意的实数t及 x, y，成立 f (tx,ty) t f (x, y) n = ， 那么 f 称为n次齐次函数。 （1）证明n次齐次函数 f 满足方程 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）利用上述性质，对于 2 2 z = x + y 求出 y z y x z x ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 在等式 f (tx,ty) = t n f (x, y) 两边对 t 求导， f ( , tx ty) t ∂ ∂ 1 2 = + xf ( , tx ty) yf (tx t, y) 1 ( , ) n nt f x y − = ， 将 t=1 代入即得到 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 (2) 由于 z t( , x ty) = tz(x, y)，所以 n=1，由（1） 2 2 x y y z y x z x = + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 10．设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x g y x z f xy, ，其中 f 具有二阶连续偏导数， g 具有二阶 7
连续导数,求2。 解令u 则 ay au ay av ay dv ay xf(u, v)-f(u, v)-2g'G a- f(a)-=f(n)-7=g(n)+x(1(x)+f2(n) 2+ yu xy g 11.设向量值函数∫:R2→R3的坐标分量函数为 向量值函数g:R2→R2的坐标分量函数为 u=rcos 6 e 求复合函数∫°g的导数 2u2 解f(u1)=2-2y|,gVr,) 6 rcos 所以 cos0 -rsin 6 (og)(r, 0)=f(g(r, 0))g(r, 0)=2rcos 0 -2rsinO os6 raine rose 2rcos 20 -2r2 sin 20 rsin 20 r2 cos 20 12.设m=f(xx1),m=g(y,),=M0x,y),求om,amn
连续导数，求 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 解 令 , x u xy v y = = ，则 z y ∂ = ∂ f u f v dg v ( ) u y v y dv y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 ( ) ( ) 2 2 , , x x xf u v f u v g ' v y y = − − ， 2 z x y ∂ ∂ ∂ 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 f u v, , f u v g ' v y y = − − ( , 11 ( ) 12 ( ) , u v x f u v f u v ) x x ∂ ∂ + + ∂ ∂ 21 ( ) 22 ( ) ( ) 2 [ , , '' ] x u v f u v f u v g v y x x ∂ ∂ − + + ∂ ∂ v x ∂ ∂ 1 , x f xy y ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y , 1 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x xyf xy, 11 3 22 , x x f xy y y ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x g y ' 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x g y x " 3 。 11．设向量值函数 f ： 2 R → 3 R 的坐标分量函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + . , , 2 2 2 2 z uv y u v x u v 向量值函数 g ： 2 R → 2 R 的坐标分量函数为 ⎩ ⎨ ⎧ = = sin . cos , θ θ v r u r 求复合函数 f D g的导数。 解 ， 2 2 '( , ) 2 2 u v u v u v v u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f cos sin '( , ) sin cos r r r θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ g ， 所以 ( )'( , ) = f g'( (r r ,θ ))g '( ,θ ) 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin sin cos r r r r r r θ θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⋅ ⎝ ⎠ cos sin sin cos r r θ θ θ θ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f gD r θ = 2 2 2 0 2 cos 2 2 sin 2 sin 2 cos 2 r r r r r θ θ θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 。 12．设w = f (x,u, v)，u = g( y,z) ，v = h(x, y)，求 z w y w x w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , 。 8
解 f +fh Ox af au af aw af az au az 13.设z =ln√x2 求d。 解 ax au ax ay ax Inu- u'In ay a1 av u'In u 1+ In u 所以 d==dx+ dy 地,+-yt+xcb uIn u x+ 其中u 14.设z=(x2+y2)e 求止和 a-z iron 解 (2x+ y)e (x2+y2)e av
解 w f f v x x v ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ x x ∂ ∂ x v = + f f h , w f u f v y ∂ ∂ u y v y y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = f g + f h , u z w f u f g z u z ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ 。 13．设 z = uv ， 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan ，求dz。 解 z z u z v x u x v x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 1 ln 1 v v x y vu u u x y x y x − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 2 2 2 ln v v 2 x y vu u u x y x − = − + + y ， z z u z y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y 1 2 2 2 1 1 ln 1 v v y vu u u x y x y x − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 2 2 ln v y x v vu u u 2 x y x − = + + + y ， 所以 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1 2 2 2 2 ln v xdx ydy ydx xdy u v x y x y − ⎛ ⎞ + − + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + u u ， 其中 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan 。 14．设 x y z x y e arctan 2 2 ( ) − = + ，求dz和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 解 arctan arctan 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 y y x x z y xe x y e x y x x ∂ − − − ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ − ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ arctan (2 ) y x x y e − = + ， arctan arctan 2 2 2 1 1 2 ( ) 1 y y x x z ye x y e y x y x ∂ − − − ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ arctan (2 ) y x y x e − = − ， 9
所以 d==dx+ody=[(2x+y)dx+(2y-x)dy]e +(2x+y)e Oxon 15.求下列函数的全微分: (1) (2)u=f(x+y,xy); (3)u=fn( 解(1)令y=ax2+by2+c2,则 du=f(vdx+dy+d= =2(ax+by2+c'axdx +bydy+cad=) (2) (+y2)dx+(f1+xf2 dx一cy+-c ,,(xk+y+)+(e)+d+) 1+x2+y2+z 16.设f()具有任意阶连续导数,而u=f(ax+by+c)。对任意正整数k, 求d 解当k=1时,成立 du =f(ax+by+cz)d(ax+ by+ca)=f(ax+by+ c(adx+ bdy+cd) 应用数学归纳法,假设对于k成立 du=f(ax+by+)(adx+bdy+cd=) 则对于k+1成立 d**u=d(du)=dw(ax+by+ cz)(adx+ bdy+cd=] =f(ax+by+c(adx+ bdy+cd=) 由数学归纳法可知对任意正整数k成立
所以 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ [ ] arctan (2 ) (2 ) y x x y dx y x dy e − = + + − ； 2 z x y ∂ ∂ ∂ arctan arctan (2 ) y y x x e x y e − − = + + . 2 1 1 1 y x x − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 arctan 2 2 y x y xy x e x y − − − = + 。 15．求下列函数的全微分： （1）u = f (ax 2 + by 2 + cz 2 )； （2）u = f (x + y, xy)； （3） ( ) x y z u f x y z e + + = ln(1+ + + ), 2 2 2 。 解 (1) 令v a = + x 2 2 by + cz 2，则 '( )( ) v v v du f v dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' f (ax by + cz )(axdx + bydy + czdz)。 (2) u u du dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1 2 1 2 = + ( ) f yf dx + ( f + xf )dy。 (3) u u u du dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 ( ) 1 f xdx ydy zdz x y z = + + 2 ( )( x y z e f dx dy dz + + + + + + + + ) 。 16．设 f (t)具有任意阶连续导数，而u = f (ax + by + cz) 。对任意正整数 ， 求 。 k uk d 解 当k = 1时，成立 du = + f '(ax by + cz)d(ax + by + cz) = f '(ax + + by cz)(adx + bdy + cdz) ， 应用数学归纳法，假设对于k 成立 k k k d u f (ax by cz)(adx bdy cdz) ( ) = + + + + ， 则对于k +1成立 1 ( ) k k d u d d u + = ( ) [ ( )( ) k k = + d f ax by + cz adx + bdy + cdz ] ) ( 1) 1 ( )( k k f ax by cz adx bdy cdz + + = + + + + 。 由数学归纳法可知对任意正整数k 成立 10