sv(a)-v(0+) sin pudu lim y(u)-w(0+) sin pudu+lim「°y(a)-v(0+) sin pudu 5.证明 Lipschitz判别法的推论 证取a=1。设Im/(x+0)-(x+)=A,则存在6>0,当0<m<时 成立 ∫(x+a)-f(x+) A≤1, 令L1=14|+1,则有 I f(x+u)-f(x+)sLIul 同理存在2>0与L2>0,当0<u<a2时,有 I f(x-u)-f(x-) L,lul 于是令δ=min{,l2},L=max{L1,l2},当0<u<d时,有 lf(x±u)-f(x+)k≤L|a, 所以f(x)满足 Lipschitz判别法的条件,推论成立。 6.对§16.1的习题2、3、4、6中的函数,验证它们的 Fourier级数 满足收敛判别法的条件,并分别写出这些 Fourier级数的和函数。 解容易验证这些函数都是分段单调有界,因而可积或绝对可积,所 以满足 Dirichlet- Jordan判别法的条件。 习题2各函数 Fourier级数的和函数为 1,x∈(0,), (1){0.x=0±z (2)| coS x.x∈[-z,z 1,x∈(-x,0) (3)x-z20 ( ) (0 ) lim sin p u pudu u δ ψ ψ →∞ − + ∫ 1 1 0 ( ) (0 ) ( ) (0 ) lim sin lim sin p p u u pudu pudu u u δ δ δ ψ ψ ψ ψ →∞ →∞ − + − + = + ∫ ∫ =0。 5．证明 Lipschitz 判别法的推论。 证 取α =1。设 0 ( ) ( ) limu f x u f x A → u + − + = ，则存在 1 δ > 0，当 1 0 < < u δ 时， 成立 ( ) ( ) 1 f x u f x A u + − + − ≤ ， 令L A 1 =| | +1，则有 1 | ( f x u + −) f (x+) |≤ L | u |。 同理存在 2 δ > 0与L2 > 0，当 2 0 < u < δ 时，有 2 | ( f x u − −) f (x−) |≤ L | u |。 于是令 mi 1 2 δ = n{δ δ, }， ma 1 2 L = x{L , L }，当0 < u < δ 时，有 | ( f x ± − u) f (x±) |≤ L | u |， 所以 f x( )满足 Lipschitz 判别法的条件，推论成立。 6．对§16.1 的习题 2、3、4、6 中的函数，验证它们的 Fourier 级数 满足收敛判别法的条件，并分别写出这些 Fourier 级数的和函数。 解 容易验证这些函数都是分段单调有界，因而可积或绝对可积，所 以满足 Dirichlet-Jordan 判别法的条件。 习题 2 各函数 Fourier 级数的和函数为 （１） 。 （２） 1, (0, ), 0, 0, , 1, ( ,0), x x x π π π ⎧ ∈ ⎪ ⎨ = ± ⎪ ⎩− ∈ − | cos x | ， x∈[ , −π π ]。 （３） 2 2 2 x −π ， x∈ −[ , π π ]。 3