29.求具有下列形式的所有调和函数n:1)=(ax+by)a与b为常数2)u=f2 解1)由u1=qf',ln=a2f",ln=b2f",而ux+ln=0,则∫"=0,即∫=c1(ax+by)+c2° f, u=2f+f fl, u f",而u 0,则 f"+2-f'=0,即∫ 30.由下列各已知调和函数求解析函数∫(=)=+iv 1)u=(x-y)x2+4xy+y2) x2+y2,f(2)=0 )l=2(x-1)y,f(2)=-i; 4)v=arctan=.x> 0 解1)l2=3x2+6xy-3y2,un=3x2-6x-3y2,则 f()=l1-il2=3x2+6xy-3y2-i(3x2-6xy-3y)=3(1-1)22,故 f()=(1-1)23+ic,c∈R 2)f()=+.(x2+y)(x+y)(x+y)今 11 f()=-2+c,又(2)=0,则f() 3)f(=)=l1-in=2y-2(x-1)=-2i(x-1+iy)=-2i(二-1),故 f()=--1)2+c,x(2)=-i,则()=-(-1): 4)f(=)=V,+iy ,故f(=)=lnz+c,C∈R 31.设v= e siny,求P的值使v为调和函数,并求出解析函数∫()=l+iv。 解n+1n= e sin y(p2-1)=0,知p=±1。当p=1时,f()=e+c,c∈R;当p=-1时, f(=)=-e-+c,c∈R 32.如果(x,y)是区域D内的调和函数,C为D内以-为中心的任何一个正向圆周:|=-=0=r 它的内部完全含于D。试证: 1)a(x,y)在(x0,y0)的值等于(x,y)在圆周C上的平均值,即 u(x, yo)=u(xo+rcos (, yo+rsin o )do 2)l(x,y)在(x,y)的值等于n(x,y)在圆域|z--0≤上的平均值,即 l(x0,y)= u(xo+rcos p, yo+rsin o)rdpdr 证明1)由平均值公式(P86) 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 8 - 29．求具有下列形式的所有调和函数 u ： 1 ）u f ax by a b = ( ), + 与 为常数； 2 ） y u f x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 解 1）由 2 2 ', '', '', x xx yy u af u a f u b f == = 而 0 xx yy u u + = ，则 f '' 0 = ，即 1 2 f = ++ c ax by c ( ) 。 2）由 2 2 34 2 1 1 ', 2 ' '', ', '', x xx y yy y yy u fu f f u fu f x xx x x =− = + = = 而 0 xx yy u u + = ，则 22 1 2 1 '' 2 ' 0, arctan yy y f f fc c xx x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + == + ⎝ ⎠ 即 。 30．由下列各已知调和函数求解析函数 f () i z uv = + ： 1 ） 2 2 u x y x xy y =− + + ( )( 4 ) ； 2 ） 2 2 , (2) 0 y v f x y = = + ； 3 ）u x yf = − =− 2( 1) , (2) i ； 4 ） arctan , 0 y v x x = > 。 解 1 ） 2 22 2 3 6 3, 3 6 3 x y u x xy y u x xy y =+− =−− ，则 2 22 2 2 '( ) i 3 6 3 i(3 6 3 ) 3(1 ) x y f z u u x xy y x xy y i z =− = + − − − − = − ，故 3 f z iz cc ( ) (1 ) i , =− + ∈ \ ； 2 ） 22 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2i 1 '( ) i i ( ) ( ) ( ) () y x x y xy x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − −− =+ = + = = = ++ + ，故 1 11 ( ) , (2) 0 ( ) 2 fz c f fz z z =− + = = − 又 ，则 ； 3 ） '( ) i 2 2i( 1) 2i( 1 i ) 2i( 1) x y fz u u y x x y z = − = − − =− − + =− − ，故 2 2 fz z c f fz z ( ) i( 1) , (2) i ( ) i( 1) =− − + =− =− − 又 ，则 ； 4 ） 22 22 22 i 1 '( ) i i y x x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − =+ = + = = = + ++ ，故 f z z cc ( ) ln , = + ∈ \ 。 31．设 sin px ve y = ，求 p 的值使 v 为调和函数，并求出解析函数 f () i z uv = + 。 解 2 sin ( 1) 0 px xx yy v v e yp + = −= ，知 p = ± 1。当 p = 1时， () , z f z e cc = + ∈ \ ；当 p = − 1时， () , z f z e cc − =− + ∈ \ 。 32．如果uxy (, ) 是区域 D 内的调和函数， C 为 D 内以 0 z 为中心的任何一个正向圆周： 0 | | zz r − = ， 它的内部完全含于 D 。试证： 1 ）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆周 C 上的平均值，即 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2 ）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆域 0 0 | | zz r − ≤ 上的平均值，即 0 2 00 0 0 2 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) r u x y u x r y r rd dr r π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ∫ 。 证明 1）由平均值公式（P86 ）