课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第二讲智者的沉思：从勾股定理到费马猜想 随堂练习1：求你能写出的最大的本原毕达哥拉斯三元组 当然存在无限多个本原毕达哥拉斯三元组，为什么？ 思考题：单位圆周x2+2=1上有多少个有理点（即两个坐标都为有 理数的点)？ 思考题：圆周x2+y2=3上有多少个有理点？请比较上面的思考题 随堂练习2：如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积 也能表示为两个平方数之和。 (随堂练习3).证明：7至少是4个平方数的和：23至少是9个立方 数的和：79至少是19个四次方数的和 四元多项式x2+y2+之2+2w2可以表示任何正整数吗？2x2+22+ 2z2+2w2可以表示任何正整数吗？因此，产生一般的问题： 哪些四元多项式可以表示任何正整数？这样的多项式称为万有多项 式(universal polynomial),比如x2+y2+z2+w2.哪些多项式是万有多 项式？显然只有有限个形如ax2+by2+cz2+dw2,a,b,c,d均为正整数的万 有多项式（为什么？）· 课堂练习：请将1729表示成两个正整数的立方和. 课堂练习.证明：拉玛努扬多项式[1；2；5；5]不能表示15.课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第二讲 智者的沉思：从勾股定理到费马猜想 随堂练习 1： 求你能写出的最大的本原毕达哥拉斯三元组. 当然存在无限多个本原毕达哥拉斯三元组，为什么? 思考题：单位圆周 x 2 + y 2 = 1上有多少个有理点 (即两个坐标都为有 理数的点)？ 思考题：圆周 x 2 + y 2 = 3上有多少个有理点？请比较上面的思考题. 随堂练习 2：如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积 也能表示为两个平方数之和。 (随堂练习 3). 证明：7 至少是 4 个平方数的和； 23 至少是 9 个立方 数的和；79 至少是 19 个四次方数的和. 四元多项式 x 2 + y 2 + z 2 + 2w 2 可以表示任何正整数吗？ 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 2w 2 可以表示任何正整数吗？因此，产生一般的问题： 哪些四元多项式可以表示任何正整数？这样的多项式称为万有多项 式 (universal polynomial)，比如 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 . 哪些多项式是万有多 项式？显然只有有限个形如 ax2 + by2 + cz2 + dw2 , a, b, c, d 均为正整数的万 有多项式（为什么？）. 课堂练习：请将 1729 表示成两个正整数的立方和. 课堂练习. 证明：拉玛努扬多项式 [1; 2; 5; 5] 不能表示 15. 1