中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 1 第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准 一、(15分)一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水 平且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其 大小为⑦(。≠0)，求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力 加速度大小为g 参考解答： 以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面 内侧运动时，可将其速度)分解成纬线切向（水平方向）分量)，及经线 切向分量)。：设滑块质量为m,在某中间状态时，滑块位于半球面内 侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为日.由机械能守恒得 2m=-mgRsin+mm 1 1 2 (1) 这里已取球心O处为重力势能零点.以过O的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为 零：重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故 mo R=mv Rcos0 (2) 由(1)式，最大速率应与0的最大值相对应 Vmax=0(8nmax） (3) 而由(2)式，B不可能达到π/2.由(1)和(2)式，0的最大值应与v。=0相对应，即 vo(ax)=0. (4) [ (4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2)式得 2gRsin0-v tan0=0020. 若sinB≠0，由上式得 sin 2gR cos20 实际上，sin0=0也满足上式。由上式可知 sinma=2gR COS2Omax vo 由(3)式有 vo(mas)=2gRsin emas-vo tanns=0. (4) 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理1 第 30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准 一、（15分）一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水 平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其 大小为v0 ( v0  0 ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力 加速度大小为 g . 参考解答： 以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面 内侧运动时，可将其速度 v 分解成纬线切向 (水平方向)分量  v 及经线 切向分量 q v . 设滑块质量为 m，在某中间状态时，滑块位于半球面内 侧 P 处， P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为q . 由机械能守恒得 2 2 2 0 1 1 1 sin 2 2 2 m mgR m m = - + + q  q v v v (1) 这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为 零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故 0 m R m Rcos v v =  q . (2) 由 (1) 式，最大速率应与q 的最大值相对应 max max v v = ( ) q . (3) 而由 (2) 式，q 不可能达到π 2 . 由(1)和(2)式，q 的最大值应与 0 vq = 相对应，即 max ( ) 0 vq q = . (4) [ (4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 2 2 2 0 2 sin tan 0 gR q q - =  q v v . 若sin 0 q  ，由上式得 2 2 0 sin 2 cos q gR q  v . 实际上，sin =0 q 也满足上式。由上式可知 max 2 2 max 0 sin 2 cos q gR q = v . 由(3)式有 2 2 2 max max 0 max v v q( ) 2 sin tan 0 q q q = - = gR . (4’) 0 v O q P 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理