§6线性方程组解的结构 在解决线性方程组有解的判别条件之后,进一步来讨论线性方程组解的结构 所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题 齐次线性方程组的解的结构 设 a,,=0, a21x1+a2x2+…+a2xn=0, a1x1+a2x2+ sn"S 是一齐次线性方程组,它的解所成的集合具有下面两个重要性质: 1.两个解的和还是方程组的解. 2.一个解的倍数还是方程组的解 从几何上看,这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方程表示一个过得 点的平面.于是方程组的解,也就是这些平面的交点,如果不只是原点的话,就 是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点,而端点在这样的直线 或平面上的向量显然具有上述的性质 对于齐次线性方程组,综合以上两点即得,解的线性组合还是方程组的解 这个性质说明了,如果方程组有几个解,那么这些解的所有可能的线性组合就给 出了很多的解.基于这个事实,我们要问:齐次线性方程组的全部解是否能够通 过它的有限的几个解的线性组合给出? 定义17齐次线性方程组(1)的一组解n1,n2…m称为(1)的一个基础解系 如果 1)(1)的任一个解都能表成n,2,…,m的线性组合; 2)n1,72,…,7线性无关 应该注意,定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解 定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解 系所含解的个数等于n-r,这里r表示系数矩阵的秩(以下将看到,n-r也就是 自由未知量的个数) 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法§6 线性方程组解的结构 在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构. 所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 一、齐次线性方程组的解的结构 设        + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1. 两个解的和还是方程组的解. 2. 一个解的倍数还是方程组的解. 从几何上看，这两个性质是清楚的.在 n = 3 时，每个齐次方程表示一个过得 点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就 是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线 或平面上的向量显然具有上述的性质. 对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给 出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通 过它的有限的几个解的线性组合给出？ 定义 17 齐次线性方程组(1)的一组解   t , , , 1 2  称为(1)的一个基础解系， 如果 1）(1)的任一个解都能表成   t , , , 1 2  的线性组合； 2）   t , , , 1 2  线性无关. 应该注意，定义中的条件 2)是为了保证基础解系中没有多余的解. 定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解 系所含解的个数等于 n − r ，这里 r 表示系数矩阵的秩(以下将看到， n − r 也就是 自由未知量的个数). 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法