级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数一一等差数列与等比数列,它们都属于项数为有限的特殊情形。下 面我们来学习项数为无限的级数,称为无穷级数 无穷级数的概念 设已给数列a,a2,…,a,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子an+a2+…+an+…称为无穷 级数,简称级数.记作 ∑a a1+a+…+at+…,数列的各项a,a2,…称为级 数的项,an称为级数的通项 取级数最前的一项,两项,…,n项,…相加,得一数列S1=a1,S=a+a,…,Sa=a1+a2+…+an, 这个数列的通项Sn=a1+a2+…+an称为级数x-1的前n项的部分和,该数列称为级数的部分和数 列 lim s= s 如果级数的部分和数列收敛:→ 那末就称该级数收敛,极限值S称为级数的和 例题:证明级数:2减0+)12+23+34+、x和”的和是1 122.33.4 x(+1) 11 证明 y+1 当n→∞时,Sn→1.所以级数的和是1 级数的性质 1级数收敛的必要条件,收敛的级数∑4,的通项当n一时趋于零,即,如40 注意:此条件只是级数收敛的必要条件,而不是充分条件 a,=2→0 例如:级数 M虽然在n→∞时,通项M 数却是发散的 此级数为调和级数,在此我们不加以证明 2如果级数∑a收敛而它的和是S,那末每一项乘上常数c后所得到的级数∑a,也是收敛 的,而且它的和是cS如果Σax发散,那末当c≠0时∑a也发散级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下 面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念 设已给数列 a1,a2,…,an,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子 a1+a2+…+an+…称为无穷 级数，简称级数.记作： 或 ，即： =a1+a2+…+an+…，数列的各项 a1,a2,…称为级 数的项，an 称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n 项，…相加，得一数列 S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 这个数列的通项 Sn=a1+a2+…+an 称为级数 的前 n 项的部分和，该数列称为级数的部分和数 列。 如果级数的部分和数列收敛： ，那末就称该级数收敛，极限值 S 称为级数的和。 例题：证明级数： 的和是 1. 证明： 当 n→∞时，Sn→1.所以级数的和是 1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数 的通项 a n 当 n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数 虽然在 n→∞时，通项 ，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数 收敛而它的和是 S，那末每一项乘上常数 c 后所得到的级数 ，也是收敛 的，而且它的和是 cS.如果 发散，那末当 c≠0 时 也发散